Критическая масса. Как одни явления порождают другие

Авторы назвали свой подход методом случайных переключений связей. В исходном состоянии система представляет собой упорядоченный граф, вы выбираете случайным образом какую-то вершину и случайным же образом уничтожаете одно из ведущих к ней ребер, затем случайным образом выбираете другую вершину и соединяете их ребром. По мере переключения связей начальный упорядоченный граф постепенно превращается в случайный, как показано на рис. 15.7. При этом увеличивается количество прямых связей, соединяющих удаленные вершины ірафа.

В качестве начального состояния исследователи выбрали простейший упорядоченный граф, в котором все вершины располагаются на окружности (напомним, что окружность в отличие от простой одномерной последовательности вершин позволяет не учитывать краевых эффектов). Постепенно переключая связи, исследователи не только изучили процесс перехода, но и вычислили все промежуточные значения двух главных топологических характеристик сетей: характеристическую длину пути L и численный показатель кластеризации С[135]. Количество переключений может быть количественно охарактеризовано вероятностью того, что конфигурация произвольно выбранной вершины отличается от начальной, т. е. равенство этой вероятности нулю соответствует полной упорядоченности системы, а единице — абсолютно случайному графу.

На первый взгляд кажется, что значения этих основных параметров (I и С) должны уменьшаться с ростом числа переключений в системе, так как в упорядоченных решетках падает степень кластеризации и увеличивается количество сквозных связей. Но все оказалось гораздо сложнее, так как в модели обнаружилось три сюрприза. Во-первых, результат в ней достигался очень быстро — примерно после десяти этапов преобразуемые графы можно считать практически случайными. Во-вторых, превращение упорядоченных графов в случайные происходит очень резко, что позволило Ваттсу сопоставить их с фазовыми переходами в статистической физике — формально можно считать, что упорядоченный, «кристаллический» граф при некоторых значениях параметра быстро переходит в неупорядоченное, «жидкое» состояние. Третьей неожиданностью стало то, что параметры L и С изменяются не одновременно и параллельно, а на разных стадиях (рис. 15.8).

Последнее обстоятельство наиболее знаменательно. В некоторой области (выделенной на рисунке серым цветом) характеристическая длина L уже становится очень малой и явно соответствует случайным графам, в то время как степень кластеризации С остается достаточно высокой (при небольшом увеличении числа переключений она затем так же резко уменьшается). Именно такая комбинация параметров характерна для малых миров. Например, круг друзей и знакомых существует и функционирует за счет сочетания высокой кластеризации и большого числа связей между кластерами, обеспечивающими очень короткую длину цепочки, отделяющей одного человека от другого, — шести степеней отдаления. Желая подчеркнуть особую роль таких промежуточных структур, Строгац и Ватте назвали их графами малых миров.

Рис. 15.8. Зависимость характеристической длины L и коэффициента кластеризации С от степени случайного переключения связей в круговом графе. Степень переключения связей характеризуется параметром р (см. текст), значения которого отложены по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Это означает, что зависимости при малых р «растянуты» для большей наглядности изменений L при небольшом числе переключений. Оба главных показателя (L и С) имеют высокие значения в исходном упорядоченном графе и очень малые — в конечном случайном графе. При переходе от исходного состояния к конечному эти величины меняются независимым образом, в результате чего возникают промежуточные графы с высокими значениями С и малыми значениями I, которые и соответствуют описываемым «малым мирам».

ЗНАКОМЫ ЛИ МЫ?

Полученные результаты очень интересны. Действительно ли реальный мир человеческих связей складывается из малых миров, описываемых графами со случайными переключениями? Другими словами, можно ли считать, что Стрѳгац и Ватте действительно доказали, что «мир очень тесен», так что не стоит удивляться, когда в очередной раз на вечеринке мы сталкиваемся со странными совпадениями и неожиданными знакомствами?