Курс теоретической астрофизики

3. Излучение, выходящее из фотосферы.

Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения

cos

dI

dr

=-

I

+

.

(4.24)

Полагая здесь

=

S

(4.25)

и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте

=

r

dr

,

(4.26)

вместо (4.24) получаем

cos

dI(,)

d

=

I

(

,)

-

S

(

)

.

(4.27)

Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина I(0,). Эта величина равна

I

(0,)

=

0

S

(

)

e

^-sec

sec

d

.

(4.28)

Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении

S

(

)

=

B

(T)

,

(4.29)

где B(T) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем

I

(0,)

=

0

B

(T)

e

^-sec

sec

d

.

(4.30)

или

I

(0,)

=

2h^3

c^2

0

e^-secsecd

e^h/(kT)

-1

(4.31)

Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты , выходящего из звезды под углом к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте на угловом расстоянии от центра диска (см. § 2).

Величина I(0,) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения H с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную

E

=

L

4r^2

(4.32)

где E — светимость звезды в частоте и r — расстояние от звезды до наблюдателя. Но

E

=

4R^2

H

,

(4.33)

где R — радиус звезды. Поэтому имеем

E

=

R

r

^2

H

.

(4.34)

Таким образом, поток излучения H характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.

Поток излучения H определяется формулой

H

=

2

/2

0

I

(0,)

cos

sin

d

,

(4.35)

вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим

H

=

2

0

S

(

)

E

d

,

(4.36)

где E — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.

При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует

H

=

2

0

B

(T)

E

d

,

(4.37)

или

H

=

4h^3

c^2

0

Ed

e^h/(kT)-1

.

(4.38)

Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами T и . В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения . Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае =, а связь между T и даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].

В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем

I

(0,)

=

2h^3

c^2

0

e

^-sec

sec d

exp

h

1

+

3

-1/4

-1

kT

_e

2

4

(4.39)

и

H

=

4h^3

c^2

0

E d

exp

h

1

+

3

-1/4

-1

kT

_e

2

4

(4.40)

где использована формула (4.20).

Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.

H

2h^3

c^2

1

e^h/(kT_e)-1

(4.41)

Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты .

Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов A и B. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.

Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).

4. Зависимость температуры и плотности от глубины.