Курс теоретической астрофизики

Однако для решения задачи об определении оптических свойств пылевых частиц нам нет необходимости рассматривать сложные формы туманностей, а достаточно ограничиться простыми. Мы рассмотрим сейчас однородную сферическую туманность с находящейся в её центре звездой. По-видимому, некоторые из наблюдаемых туманностей можно считать сферическими, так как их изофоты близки к окружностям.

Предположим, что звезда светимости L находится в центре сферической туманности радиуса r. Оптические свойства вещества туманности будем характеризовать объёмным коэффициентом поглощения , вероятностью выживания кванта при элементарном акте рассеяния (эту величину можно также назвать альбедо частицы) и индикатрисой рассеяния x, где — угол между направлением излучения, падающего на данный объём, и направлением излучения, рассеянного этим объёмом. Подразумевается, что величины , и x зависят от частоты.

Рассмотрим процесс многократного рассеяния света в туманности. Искомую интенсивность диффузного излучения обозначим через I. Она зависит как от расстояния r от звезды, таки от угла между направлением излучения и радиусом-вектором. Уравнение переноса излучения, служащее для определения величины I, в случае сферической симметрии имеет вид

cos

I

r

-

sin

r

I

=-

I

+

,

(32.25)

где — объёмный коэффициент излучения. Вводя обозначения =r и =S, вместо уравнения (32.25) получаем

cos

I(,)

-

sin

I(,)

=-

I(,)

+

S(,)

.

(32.26)

Величина S обусловлена рассеянием света, приходящим в данный объём как от звезды, так и от туманности. Она может быть представлена в виде

S

=

Ix

d

4

+

xL

16^2r^2

e

,

(32.27)

где интегрирование производится по всем направлениям. Считая, что направление излучения в данном месте характеризуется полярным углом и азимутом , мы получаем

cos

=

cos

cos

'

+

sin

sin

'

cos(-')

(32.28)

и d=sin ' d' d'. Обозначая

1

2

2

0

x

d

=

p(,')

(32.29)

и

L^2

16^2

=

A

,

(32.30)

вместо уравнения (32.27) находим

S(,)

=

2

0

I(,')

p(,')

sin

'

+

x

A

^2

e

.

(32.31)

Таким образом, для определения искомых функций S(,) и I(,) мы имеем уравнения (32.26) и (32.31). К ним надо ещё добавить граничное условие, выражающее собой тот факт, что нет излучения, падающего на туманность извне.

Из уравнений (32.26) и (32.31) мы можем получить интегральное уравнение, определяющее функцию S(,). Для этого надо найти величину I(,) из уравнения (32.26) и подставить её в уравнение (32.31).

В случае сферической индикатрисы рассеяния, т.е. при x=1, величина S зависит только от . В данном случае упомянутое интегральное уравнение получается в виде

S

=

2

0

E|-'|

-

E|+'|

x

x

S(')'

d'

+

A

e

,

(32.32)

где =r — оптический радиус туманности.

При = легко найти точное решение уравнения (32.32). Вводя функцию

U

=

S

d

,

(32.33)

мы для её решения получаем уравнение

U

=

2

0

E|-'|

-

E|+'|

x

x

U(')'

d'

+

AE

.

(32.34)

Обозначая через (,') резольвенту уравнения (32.34) и полагая (,0)=, мы видим, что U=A, а значит,

S

=-

A

'

.

(32.35)

Что же касается функции , то она была определена ранее формулой (27.21). Пользуясь этой формулой, находим

S

=

A

4

1

x^2e

^-x

dx

+

^2

+

2x

+

ln

x-1

^2

x+1

+

2k^2(1-k^2)

e

^-k

,

+k^2-1

(32.36)

где величина k связана с уравнением

2k

ln

1+k

1-k

=

1

.

Функция S включает в себя в виде слагаемого величину

S

=

A

^2

e

^-

(32.37)

представляющую собой функцию S, обусловленную рассеянием первого порядка. В табл. 50 приведены значения отношения S/S, вычисленные при помощи формул (32.36) и (32.37) для разных значений альбедо частицы .

Таблица 50

Значения величины S/S

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,07

1,12

1,17

1,24

1,29

0,2

1,12

1,23

1,35

1,51

1,65

0,4

1,22

1,43

1,70

2,14

2,66

0,6

1,31

1,62

2,08

2,90

4,11

0,8

1,40

1,82

2,49

3,81

6,13

1,0

1,47

2,00

2,92

4,89

8,92

1,5

1,65

2,47

4,11

8,50

20,90

2,0

1,80

2,94

5,50

13,80

45,00

2,5

1,95

3,42

7,11

21,40

92,00

3,0

2,08

3,91

8,98

32,10

181,00

Таблица ясно показывает, какова роль рассеяний высших порядков при разных . При каждом вокруг звезды существует область, в которой рассеяния высших порядков играют меньшую роль, чем однократное рассеяние, но вне этой области положение обратное. Размеры упомянутой области тем больше, чем меньше . Однако надо иметь в виду, что в реальных туманностях величина конечная, а индикатриса рассеяния отличается от сферической. Поэтому результаты, приведённые в табл. 50, по отношению к туманностям носят лишь иллюстративный характер.

Уравнения (32.26) и (32.31) при любом оптическом радиусе туманности и при произвольной индикатрисе рассеяния x могут быть решены приближённым методом. В этом случае величина S(,) представляется в виде

S(,)

=

x

A

^2

e

^-

+

S(,,x,,)

,

(32.38)

где рассеяние первого порядка учитывается точно, а рассеяние высших порядков — приближённо. При этом величина S зависит не от всей индикатрисы рассеяния, а только от параметра x представляющего собой первый коэффициент в разложении x по полиномам Лежандра.

Рис. 44

Если функция S(,) известна, то можно легко найти распределение яркости по диску туманности (рис. 44). Обозначим через I интенсивность излучения, выходящего из туманности на расстоянии от центра диска (в прежних обозначениях это есть I(,))). Как следует из уравнения переноса излучения, величина I равна

I

=

s

-s

S(,)

e

^-(s-s)

ds

,

(32.39)