Курс теоретической астрофизики

Теория внутреннего строения звёзд в своём развитии прошла ряд этапов. Первоначально в теории рассматривалось лишь механическое равновесие звезды под действием двух сил: тяготения и газового давления. При этом считалось, что давление пропорционально некоторой степени плотности. Эта теория нашла своё завершение в книге Эмдена [1]. В дальнейшем в уравнение механического равновесия было введено давление излучения и стало рассматриваться энергетическое равновесие звезды. Большое значение на этом этапе имели исследования Эддингтона [2]. Однако фундаментальный вопрос теории — вопрос об источниках звёздной энергии — долгое время оставался нерешённым. Лишь в сороковых годах было установлено, что основным источником звёздной энергии являются ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Это открытие послужило началом современного этапа теории.

На данном этапе разработка теории внутреннего строения звёзд теснейшим образом связывается с решением проблемы звёздной эволюции. Такая связь является совершенно естественной, поскольку структура звезды зависит от химического состава, а он меняется в ходе ядерных реакций.

В настоящей главе теория внутреннего строения звёзд излагается в порядке её развития. При этом первоначальные этапы теории рассматриваются весьма кратко, так как лишь очень немногие из полученных тогда результатов сохранили своё значение до нашего времени.

§ 35. Уравнения равновесия звезды

1. Уравнение механического равновесия.

Будем считать, что звезда обладает сферической симметрией и находится в равновесии под действием силы притяжения и силы газового давления. Пусть P — давление и — плотность внутри звезды. Эти величины зависят от расстояния r от центра звезды.

Уравнение равновесия под действием указанных сил (т.е. уравнение гидростатического равновесия) имеет вид

dP

=-

g

dr

,

(35.1)

где g — ускорение силы тяжести в данном месте звезды. Как известно, в случае сферической симметрии величина g определяется формулой

g

=

G

M_r

r^2

,

(35.2)

где G — постоянная тяготения и M_r — масса, заключённая внутри сферы радиуса r, т.е.

M

_r

=

4

r

0

r^2

dr

.

(35.3)

Подставляя (35.2) в (35.1), получаем

dP

dr

=-

G

M_r

r^2

.

(35.4)

Вводя сюда выражение для M_r приходим к уравнению механического равновесия в виде

1

r^2

d

dr

r^2

dP

dr

=-

4

G

.

(35.5)

Уравнение (35.5) является одним из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд.

В уравнение (35.5) входят две неизвестные величины: давление P и плотность . Как уже говорилось, на первом этапе развития теории принималось, что эти величины связаны между собой зависимостью

P

=

C

^k

,

(35.6)

где C и k — постоянные. Такая зависимость между P и называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.

При помощи (35.6) находим

1

dP

dr

=

Ck

k-1

d^k-1

dr

.

(35.7)

Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение

^k-1

=

u

,

(35.8)

получаем

C(1+n)

1

r^2

d

dr

r^2

du

dr

=-

4

Gu

ⁿ

,

(35.9)

где n=1/(k-1). Величина n называется политропным индексом.

Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция u(r), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим

u

=

uy

,

x

=

r

(35.10)

и будем считать, что u есть значение u в центре звезды (при r=0). Что же касается величины , то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения получаем соотношение

C(1+n)

^2

=

4

Gu

^n-1

,

(35.11)

а уравнение (35.9) принимает вид

1

x^2

d

dx

x^2

dy

dx

=-

y

ⁿ

.

(35.12)

Очевидно, что функция y(x) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:

y=1,

y'=0,

при

x=0.

(35.13)

Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (n=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид

y

=

1

-

x^2

6

при

n=0,

(35.14)

y

=

sin x

x

при

n=1,

(35.15)

y

=

1

(1+x^2/3)^1^/^2

при

n=5.

(35.16)

Для других значений n уравнение (35.12) при граничных условиях (35.13) было решено численно. В астрофизической литературе (например, в [1]) даны подробные таблицы решений уравнения Эмдена.

2. Плотность, давление и температура внутри звезды.

Если считать звезду политропным шаром с заданным политропным индексом n, то, пользуясь соответствующим решением уравнения Эмдена, можно легко найти распределение плотности, давления и температуры внутри звезды.

На основании формул (35.8) и (35.10) имеем

(r)

=

u

ⁿ

y

ⁿ

(r)

.

(35.17)

Следовательно, для нахождения функции (r) надо знать постоянные u и . Для их определения воспользуемся условиями на границе звезды.

Обозначим через x значение x при x=R. Величина x находится из того условия, что на поверхности звезды функция y(x) обращается в нуль, т.е. y(x)=0 Применяя к поверхности звезды вторую из формул (35.10), получаем

x

=

R

.

(35.18)