Курс теоретической астрофизики

1. Будем считать, что количество энергии, излучаемое элементарным объёмом в данной линии, точно равно количеству энергии, поглощаемому этим объёмом в той же линии, т.е. нет перераспределения энергии между линиями, а также нет других процессов, ведущих к появлению или исчезновению квантов в рассматриваемой линии. В таком случае говорят о чистом рассеянии излучения в спектральной линии.

2. Будем считать, что энергия, поглощаемая элементарным объёмом в данной частоте внутри линии, испускается им в точности в той же частоте, т.е. нет перераспределения излучения по частотам внутри линии. Такой процесс называется когерентным рассеянием излучения.

Указанные предположения были сделаны ещё в первых работах по теории звёздных спектров и принимались в течение долгого времени. Впоследствии выяснилось, что они весьма далеки от действительности. Это повело к различным уточнениям теории, которые мы рассмотрим позднее.

Из сделанных предположений вытекает, что каждый элементарный объём излучает столько энергии в данной частоте внутри линии, сколько он её поглощает. Таким образом, мы считаем, что в звёздной атмосфере осуществляется монохроматическое лучистое равновесие. Уравнение, выражающее это равновесие, записывается, очевидно, так:

4

=

I

d

,

(10.1)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Как уже говорилось во введении к этой главе, первоначально в теории звёздных спектров принималось существование резкой границы между фотосферой и атмосферой. При этом считалось, что из фотосферы идёт излучение без линий поглощения, а эти линии возникают при прохождении излучения через атмосферу. Такая модель внешних слоёв звезды называется моделью Шварцшильда — Шустера.

Принимая эту модель, мы должны в уравнении переноса излучения (9.1) положить равными нулю коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре. В таком случае уравнение переноса излучения принимает вид

cos

dI

dr

=-

I

+

.

(10.2)

Введём оптическую глубину в частоте

t

=

r

dr

(10.3)

и обозначим

=

S

.

(10.4)

Тогда вместо уравнений (10.1) и (10.2) получаем

cos

dI(t,)

dt

=

I

(t

,)

-

S

(t

)

,

S

(t

)

=

1/2

0

I

(t

,)

sin

d

.

(10.5)

Заметим, что уравнения (10.5) формально не отличаются от уравнений (2.8) в теории фотосфер. Однако уравнения (2.8) относятся к интегральному излучению, а уравнения (10.5) - к излучению определённой частоты внутри линии.

К системе уравнений (10.5) надо добавить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (при t=0) выражает отсутствие излучения, падающего на звезду извне:

I

(0,)

=

0

при

2

.

(10.6)

Условие на нижней границе атмосферы (при t=t) должно выражать собой тот факт, что интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу, задана и равна интенсивности непрерывного спектра в частоте (её, очевидно, можно считать равной интенсивности излучения, выходящего из атмосферы вблизи линии). Обозначая, как и раньше, эту интенсивность через I(0,), имеем

I

(t

,)

=

I

(0,)

при

2

.

(10.7)

Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).

Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда — Шустера).

Обозначая через I' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через I'' — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем

1

2

dI'

dt

=

I

'

-

S

,

-

1

2

dI''

dt

=

I

''

-

S

,

S

'

=

(

I

'

-

I

''

).

(10.8)

Из уравнений (10.8) следует

I

'

-

I

''

=

F

,

I

'

+

I

''

=

2F

t

+

C

,

(10.9)

где F и C — произвольные постоянные.

Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид

I

''

=

0

при

t

=

0

,

I

'

=

I

при

t

=

t

,

(10.10)

где I — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим

C

=

F

,

F

=

I

1+t

.

(10.11)

Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции S:

S

=

I

1+t

1

2

+

t

.

(10.12)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна

I

(0,)

=

t

0

S

(t

)

e

^-tsec 

sec 

dt

+

+

I

(0,)

e

^-tsec 

.

(10.13)

Если мы подставим сюда найденное выражение для S и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину r, характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии от центра диска.

Чтобы определить величину r, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны

H

=

F

,

H

=

F

.

(10.14)

Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем

r

=

1

1+t

.

(10.15)

Заметим, что величина 1/(1+t) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же t/(1+t) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.

Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина t/(1+t) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте , равна

t

/(1+t

)

=

r

dr

,

(10.16)