Курс теоретической астрофизики

В другом частном случае мы предположим, что эффекты давления оказывают основное влияние на вид функции p(,'). Если за время жизни атома в возбуждённом состоянии возмущающее поле меняется очень сильно, то можно считать, что частота излучаемого фотона не зависит от частоты поглощённого фотона '. В этом случае функция p(,'), которую мы можем обозначить просто через p, определяется весьма легко.

Очевидно, что функция p(,') должна удовлетворять условию

p(,')

d

=

1,

(11.3)

где интегрирование производится по всем частотам. Кроме того, должно выполняться соотношение

p(,')

_'

=

p(',)

,

(11.4)

выражающее «принцип обратимости» для оптических явлений.

Если функция p(,') не зависит от ', то из (11.4) следует, что p=c, где c — постоянная. Определяя c из формулы (11.3), получаем

p

=

_'d'

.

(11.5)

Мы будем говорить, что в данном случае происходит полное перераспределение излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. Такое рассеяние излучения будем называть полностью некогерентным.

Приведённые формулы для функции p(,') соответствуют разным значениям давления: при малых давлениях следует пользоваться формулой (11-1), при больших — формулой (11.5). Очевидно, что при изучении диффузии излучения в газовых туманностях должна применяться формула (11.1). В случае же звёздных атмосфер можно, по-видимому, пользоваться формулой (11.5). Однако и в случае туманностей обычно делается предположение о полном перераспределении излучения по частотам, так как некоторые вычисления показали, что замена формулы (11.1) на (11.5) не приводит к большим различиям в результатах.

Используя функцию p(,'), мы можем написать выражение для коэффициента излучения . Если считать, что в линии происходит чистое рассеяние излучения, то имеем

=

p(,')

_'

d'

I

_'

d

4

.

(11.6)

При p(,')=(-'), где — функция Дирака, из (11.6) следует

=

I

d

4

,

(11.7)

т.е. выражение для в случае когерентного рассеяния излучения.

Подставляя в (11.6) выражение для p(,'), даваемое формулой (11.5), получаем

_'

d'

I

_'

d

=

4

.

_'

d'

(11.8)

Этой формулой определяется коэффициент излучения при полностью некогерентном рассеянии.

В дальнейшем мы будем считать, что в звёздных атмосферах происходит полностью некогерентное рассеяние излучения в спектральных линиях.

2. Уравнение переноса излучения и его решение.

После рассмотрения процессов, происходящих при элементарном акте рассеяния, перейдём к определению профилей линий поглощения. При этом, как уже сказано, сделаем предположение о полном перераспределении излучения по частотам.

Для простоты будем считать, что флуоресценция отсутствует. В таком случае уравнение переноса излучения мы должны взять в форме (10.21), а выражение для коэффициента излучения — в форме (11.8).

Введём оптическую глубину в непрерывном спектре при помощи соотношения d=-dr (для упрощения записи мы опускаем индекс при ). Тогда указанные уравнения принимают вид

dI(,)

d

=

(

+1)

I

(,)

-

S

-

B

(T)

(11.9)

и

S

=

1/2

p

d

+1

-1

I

(,)

d

,

(11.10)

где =cos , =/ и использовано обозначение (11.5).

Величину B(T) мы раньше брали в виде линейной функции от , однако теперь для простоты будем считать её постоянной и равной B(T).

Из уравнения (11.9) следует, что искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, равна

I

(0,)

=

+1

0

S

e

^-x

x

d

+

B(T)

+1

,

(11.11)

где обозначено

x

=

+1

.

(11.12)

Для составления интегрального уравнения, определяющего функцию S, найдём интенсивность излучения I из (11.9) и подставим в (11.10). В результате получаем

S

=

1/2

p

d

0

S(')

+

B

(T)

E

x

x

|-'|

(

+1)

d'

.

(11.13)

Уравнение (11.13) может быть переписано в виде

S

=

0

K(|-'|)

S(')

d'

+

g

,

(11.14)

где

K

=

1/2

p

d

+1

e

^-x

dx

x

(11.15)

и

g

=

B

(T)

pd

+1

-

1/2

p

d

+1

e

^-x

dx

x^2

.

(11.16)

Меняя порядок интегрирования в (11.15), находим

K

=

0

e

^-x

A(x)

dx

,

(11.17)

где

A(x)

=

1

x

(x)

p

d

,

(11.18)

а (x)=, если x, и _(x)+1=x, если x+1 ( — центральная частота линии).

Аналогично получаем

g

=

B

(T)

pd

+1

-

1/2

1

e

^-x

A(x)

dx

,

(11.19)

где

A(x)

=

1

x^2

(x)

p

d

(11.20)

и нижний предел интегрирования определяется так же, как в (11.18).

Уравнение (11.14) может быть решено методом, изложенным в § 3. Однако нас интересует не сама функция S, а только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы. Эту же величину можно найти по формулам, приведённым в § 3, без предварительного определения функции S. При этом она будет выражена через функцию S(0,x), определённую уравнением (3.20).

Из формулы (11.19) мы видим, что свободный член уравнения (11.14) состоит из двух частей: постоянной и суперпозиции экспонент. Поэтому, обозначая через S(,x) решение уравнения (11.14) при свободном члене e^-x, получаем

S

=

B

(T)

S(,0)

pd

+1

-

-

1/2

1

S(,x)

A(x)

dx

.

(11.21)

Подставляя (11.21) в (11.11) и пользуясь формулой (3.19), находим

I

(0,)

=

+1

B

(T)

S(0,x)

x

x

S(0,0)

pd

+1

-

x

2

1

S(0,y)

x+y

A(y)

dy

+

B(T)

+1

.

(11.22)

Входящая в формулу (11.22) величина S(0,0) может быть найдена при помощи соотношения (3.27). Принимая во внимание (11.17), вместо этого соотношения имеем

S^2(0,0)

=

1-2

0

K

d

=

1.

(11.23)

Подставляя сюда выражение (11.15), получаем

S^2(0,0)

pd

+1

=

1.

(11.24)

Поэтому формула (11.22) принимает вид

I

(0,)

=

+1

B

(T)

S(0,x)

x

pd

+1

1/2

-

x

2

1

S(0,y)

x+y

A(y)

dy

+

B(T)

+1

.

(11.25)