Курс теоретической астрофизики

Ниже мы получим теоретические кривые роста в явном виде и сообщим результаты их применения к определению химического состава звёздных атмосфер. Вопросы определения других параметров атмосфер с помощью кривых роста будут кратко рассмотрены в следующем параграфе. Подробнее см. [9] и [10].

2. Кривая роста для модели Шварцшильда — Шустера.

Чтобы получить зависимость эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Шварцшильда — Шустера, надо подставить в формулу (12.1) выражение (10.19). Сделав это, находим

W

=

kN

1+kN

d

.

(12.7)

Для коэффициента поглощения k мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.

1. Пусть N мало, так что kN1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде

W

=

N

k

d

.

(12.8)

Подставляя сюда выражение (8.18), получаем

W

=

v

c

k

N

.

(12.9)

Эта формула справедлива только для очень слабых линий.

2. Пусть N велико, так что kN>>1, но kN1 в тех частях линии, где k определяется затуханием излучения. В данном случае для k можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем

W

=

k

N

v

c

+

-

e^{-u^2}du

1+kNe^{-u^2}

.

(12.10)

Приближённое вычисление интеграла даёт

W

=

2

v

c

ln kN

.

(12.11)

Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние от центра линии, на котором r= 1/2 . Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть kN=1 или

k

N

exp

-

c

v

^2

=

1.

(12.12)

Отсюда находим

=

v

c

ln kN

.

(12.13)

Так как приближённо W=2, то мы снова приходим к формуле (12.11).

3. Пусть, наконец, N настолько велико, что неравенство kN>>1 осуществляется даже в тех далёких от центра частях линии, где k определяется затуханием излучения. Очевидно, что в данном случае для вычисления интеграла (12.7) на всем протяжении линии можно пользоваться для k выражением (8.25). Подставляя (8.25) в (12.7), получаем

W

=

a

kN

v

+

-

du

,

c

u^2

+

a

kN

(12.14)

или, после интегрирования,

W

=

^3

^/

v

c

akN

.

(12.15)

Суммируя полученные результаты, можем сказать, что эквивалентная ширина линии W растёт с увеличением числа поглощающих атомов сначала как N, затем приблизительно как ln N и, наконец, как N.

При практическом использовании зависимости между W и N обычно её несколько преобразуют. Прежде всего, от эквивалентной ширины в шкале частот W (её мы выше обозначали просто через W) переходят к эквивалентной ширине в шкале длин волн W. Эти величины связаны между собой очевидным соотношением

W

=

W

.

(12.16)

Далее, от числа поглощающих атомов N переходят к величине

X

=

kN

,

(12.17)

представляющей собой приближённо оптическую толщину атмосферы в центре линии (так как k мало отличается от k при a1).

Учитывая сказанное, можно переписать полученные выше формулы в следующем виде: при малых X

W

=

v

c

X

,

(12.18)

при больших X

W

=

2

v

c

ln X

,

(12.19)

при очень больших X

W

=

^3

^/

v

c

a X

.

(12.20)

Вместо последней формулы мы можем также написать

W

=

^1^/

2

v

c

X

1/2

,

(12.21)

где — постоянная затухания (обусловленная как затуханием вследствие излучения, так и затуханием вследствие столкновений). Здесь мы воспользовались соотношением

a

=

c

4v

(12.22)

вытекающим из определения величины a, даваемого формулой (8.27).

Как уже сказано, кривая, представляющая зависимость W от N (или ln W/ от ln X), называется кривой роста. Для построения кривых роста пользуются как приведёнными выше формулами (12.18) — (12.20), так и результатами численного определения интеграла (12.7) для промежуточных значений X.

Все кривые роста составляют семейство, зависящее от двух параметров: средней скорости хаотического движения атомов v и постоянной затухания (или величины a).

3. Кривая роста для модели Эддингтона.

Для получения зависимости эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Эддингтона мы должны взять для r выражение (10.37) [или более общее выражение (10.52)]. Подставляя это выражение в формулу (12.7), можно получить зависимость W от kn/. Мы не будем производить вычислений, а приведём лишь их результат. Оказывается, что эквивалентная ширина линии W сначала растёт как kn/, затем как

ln

k

n

1/2

и, наконец, как kn/. Иными словами, кривая роста в случае модели Эддингтона имеет приблизительно такой же вид, как и в случае модели Шварцшильда — Шустера. Напомним, что величина n/ по своему физическому смыслу аналогична величине N.

Пользуясь точным выражением для величины r, даваемым формулой (10.72), мы можем получить точную кривую роста для модели Эддингтона. Допустим для простоты, что флуоресценция отсутствует, т.е. =0. В таком случае формула (10.72) принимает вид

r

=

(1+)1+

x

x

1+

1+

+

₁

21+

,

(12.23)

где =kn/, функция определяется уравнением (10.67) и ₁ — её первый момент.

Формулой (12.23) определяется профиль линии на угловом расстоянии arccos  от центра диска. При помощи этой формулы можно получить следующее выражение для величины r, определяющей профиль линии в спектре всей звезды:

r

=

1

x

1

+

1

1+

2

3

x

₂

+

₂

+

₁

^2

,

1+

2+

1+

(12.24)

где ₂ — второй момент функции .