Курс теоретической астрофизики

Из наблюдательных данных можно найти полную интенсивность излучения в любой линии на высоте h от края диска. Эту величину мы обозначим через I(h). Очевидно, что она представляет собой количество энергии, излучаемое в линии столбом с сечением 1 см^2, проходящим на расстоянии h от фотосферы за 1 с в единице телесного угла (рис. 18).

Рис. 18

Величина I(h) убывает с ростом h, и после обработки результатов наблюдений её обычно представляют в виде

I(h)

=

I(0)

e

^-h

,

(16.1)

где I(0) и — некоторые параметры.

Зная величину I(h) для данной линии, мы можем определить объёмный коэффициент излучения в этой линии. Обозначая его через (h), имеем следующее уравнение:

I(h)

=

+

-

(h')

ds

,

(16.2)

где h' — высота произвольной точки на луче зрения и s — расстояние, отсчитываемое вдоль луча.

Если R — радиус Солнца, то из рис. 18 следует, что

s^2

=

(R+h')^2

-

(R+h)^2

.

(16.3)

Так как толщина хромосферы мала по сравнению с R, то вместо (16.3) можем написать

s^2

=

2R(h'-h)

.

(16.4)

При учёте (16.4) соотношение (16.2) принимает вид

I(h)

=

2R

h

(h') dh'

h'-h

.

(16.5)

Соотношение (16.5) является интегральным уравнением Абеля для искомой функции (h). Решение этого уравнения даётся формулой

(h)

=-

1

2R

d

dh

h

I(h') dh'

h'-h

(16.6)

Подставляя (16.1) в (16.6), находим

(h)

=

(0)

e

^-h

,

(16.7)

где

(0)

=

I(0)

2R

1/2

Таким образом при помощи формулы (16.7) и получаемых из наблюдений величин I(0) и может быть определён коэффициент излучения для каждой линии на любой высоте h.

Определение величин (h) производилось на основании наблюдений многих солнечных затмений. В табл. 19 приведена часть результатов, полученных Мензелом и Силлье.

Таблица 19

Излучение хромосферы

в разных спектральных линиях

Атом

Длина волны

линии

·10

lg

(0)

H

4681 (

H

)

1,16

-1,63

4340 (

H

)

1,16

-2,22

3970 (

H

)

1,16

-2,56

He

5016

0,58

-4,96

4026

0,67

-4,49

He

4686

0,30

-5,88

Mg

3838

1,81

-2,90

Ti

4572

1,58

-3,79

4227

2,11

-3,19

Ca

3968

0,69

-2,93

Ca

3934

0,69

-2,85

Такие результаты представляют значительный интерес для выяснения физических условий в верхних слоях солнечной атмосферы.

2. Самопоглощение в линиях.

При написании уравнения (16.2) мы считали, что хромосфера прозрачна для собственного излучения. Однако такое предположение справедливо только для верхней хромосферы. При рассмотрении же нижней хромосферы необходимо учитывать самопоглощение в спектральных линиях.

Обозначим через (h) и (h) коэффициенты излучения и поглощения в частоте внутри данной линии на высоте h над фотосферой. Тогда интенсивность излучения в частоте , идущего к наблюдателю на расстоянии h от края диска, будет равна

I

(h)

=

+

-

(h')

e

^-t

ds

,

(16.9)

где t — оптическое расстояние, отсчитываемое вдоль луча зрения, т.е.

t

=

s

ds'

,

(16.10)

Мы будем считать, что величина

=

S

(16.11)

не зависит от частоты внутри линии. Так, в частности, обстоит дело при полностью некогерентном рассеянии света.

Очевидно, что величина S определяется заданием отношения чисел атомов в верхнем и нижнем состояниях для данной линии, т.е. отношения n_k/n_i В самом деле, при помощи (16.11) мы можем написать

n

_k

A

_ki

h

_ik

=

4S

d

.

(16.12)

Кроме того, на основании формулы (8.12) имеем

d

=

h_ik

c

(

n

_i

B

_ik

-

n

_k

B

_ki

),

(16.13)

где в интересах общности принято во внимание отрицательное поглощение. Из формул (46.12) и (16.13), пользуясь соотношениями (8.5), связывающими между собой эйнштейновские коэффициенты переходов, находим

S

=

2h

_ik

^3

1

.

c^2

g

_k

n

_i

-1

g

_i

n

_k

(16.14)

Разумеется, величина n_i/n_k меняется в хромосфере. Однако для простоты мы будем считать её постоянной (соответствующей некоторой средней «температуре возбуждения»). Тогда будет постоянной в хромосфере и величина S.

Пользуясь формулой (16.11) и допущением о постоянстве S, вместо уравнения (16.9) получаем

I

(h)

=

S

+

-

(h')

e

^-t

ds

,

(16.15)

или, после интегрирования,

I

(h)

=

S

1

-

e

^-t(h)

,

(16.16)

где t(h) — оптическая толщина хромосферы вдоль луча зрения.

Представляя величину в виде =n_ik, где k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, мы можем написать

t

=

+

-

ds

=

k

+

-

n

_i

ds

.

(16.17)

Вводя обозначение

N

_i

(h)

=

+

-

n

_i

(h')

ds

,

(16.18)

вместо (16.16) находим

I

(h)

=

S

1

-

e

^-kN_i(h)

.

(16.19)

Интегрирование соотношения (16.19) по всем частотам даёт

I(h)

=

S

0

1

-

e

^-kN_i(h)

d

.

(16.20)

где I(h) — полная интенсивность линии.

Уравнение (16.20) даёт возможность определить величину N_i(h) по найденной из наблюдений интенсивности излучения I(h). Величина N_i(h) представляет собой число атомов в i-м состоянии, находящихся в столбе с сечением 1 см^2, проходящем на высоте h от края диска. Эта величина связана с концентрацией атомов n_i(h) уравнением (16.18), которое можно переписать в виде

N

_i

(h)

=

2R

h

n_i(h')

h'-h

d'

.

(16.21)

Решая это уравнение Абеля, мы можем определить искомую величину n_i(h).