Курс теоретической астрофизики

Если функция S(,) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина I(0,,). Полагая

I(0,,)

=

F(,)

,

(19.13)

имеем

(,)

=

1

F

0

S(,)

exp

-

d

.

(19.14)

Величина (,) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.

Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой A(x)=/2x, a=1, b=, а свободный член имеет вид

g

=

4

F

exp

-

.

Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение

(,)

=

4

-

,

(19.15)

в котором функция определяется уравнением

=

1+

2

1

0

(')

+'

d'

.

(19.16)

Как мы помним, функция уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции при разных значениях параметра приведены на стр. 119.

Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).

При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния

x

=

1+

xcos

,

(19.17)

где x — некоторый параметр.

В данном случае коэффициент яркости определяется формулой

(,,)

=

(,)

+

(,)

cos

,

(19.18)

а величины (,) и (,) имеют следующую структуру:

(,)

=

4

-x

+

,

(19.19)

(,)

=

4

x

^1 ^1

+

.

(19.20)

В свою очередь вспомогательные функции и определяются из системы уравнений

=

1

+

+

2

1

0

(')-x(')

-'

d'

,

(19.21)

=

-

-

2

1

0

(')-x(')

-'

d'

,

(19.22)

а вспомогательная функция ^1 — из уравнения

^1

=

1-^2

+

+

4

x

^1

1

0

^1(')

+'

1-'^2

d'

.

(19.23)

Функции , и ^1 табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.

При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения (,,) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.

3. Атмосфера конечной оптической толщины.

Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины . Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции S(,):

S(,)

=

2

0

E|-t|

S(t,)

dt

+

4

F

exp

-

.

(19.24)

Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.

Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) (,) и (,), выражающиеся через функцию S(,) при помощи формул

F(,)

=

0

S(,)

exp

-

d

,

(19.25)

F(,)

=

0

S(,)

exp

-

-

d

.

(19.26)

Однако для нахождения величин (,) и (,) нет необходимости в предварительном определении функции S(,) Как и в случае =, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.

Перепишем уравнения (19.24) в виде

S(,)

=

2

0

E(-t)

S(t,)

dt

+

+

2

0

E(t-)

S(t,)

dt

+

4

F

exp

-

.

(19.27)

Положив -t=x в первом интеграле и t-=x во втором, получаем

S(,)

=

2

0

Ex

S(-x,)

dx

+

2

-

0

Ex

S(+x,)

dx

+

4

F

exp

-

.

(19.28)

Дифференцируя это уравнение по , находим

S'(,)

=

2

0

E|-t|

S'(t,)

dt

-

F

4

exp

-

+

+

2

S(0,)

E

-

2

S(,)

E(-)

.

(19.29)

Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция E определяется формулой

E

=

1

0

exp

-

d

,

(19.30)

то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем

S'(,)

=-

1

S(,)

+

2

F

S(0,)

1

0

S(,')

d'

'

-

-

2

F

S(,)

1

0

S(-,')

d'

'

.

(19.31)

Соотношение (19.31) и даёт нам возможность получить уравнения, определяющие величины (,) и (,). Умножая это соотношение на

exp

-

d

,

интегрируя по в пределах от нуля до и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим

F

(,)

(+)

=

S(0,)

-

S(,)

,

(19.32)

где обозначено

=

1+

2

1

0

(,')

d'

,

(19.33)

=

exp

-

+

2

1

0

(,')

d'

.

(19.34)

После умножения соотношения (19.31) на

exp

-

-

d

,

и интегрирования аналогично получаем

F

(,)

(-)

=

S(0,)

-

S(,)

.

(19.35)

С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает

S(0,)

=

2

0

S(t,)

dt

1

0

exp

-

t

d

+

4

F

=

=

2

1

0

d

0

S(t,)

exp

-

t

dt

+

4

F

=

=

4

F

1+

2

1

0

(,)

d

.

(19.36)

Из того же уравнения аналогично находим

S(,)

=

4

F

exp

-

+

2

1

0

(,)

d

.

(19.37)

Пользуясь симметричностью величин (,) и (,). относительно и (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем

S(0,)

=

4

F

,

S(,)

=

4

F

.

(19.38)

Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт

(,)

=

4

-

+

,

(19.39)

(,)

=

4

+

-

.

(19.40)