Курс теоретической астрофизики

Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и толщиной 𝑑𝑟. Допустим, что на объём падает излучение со всех сторон, и найдём силу светового давления, действующую на объём в направлении нормали к основанию. Рассмотрим сперва излучение, падающее на объём под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение промежутка времени 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения есть 𝐼_ν, то количество энергии, падающее на объём, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Однако не вся эта энергия производит давление на объём, а только часть её, поглощаемая объёмом. Так как путь фотонов в объёме равен 𝑑𝑟 secθ, то количество поглощаемой объёмом энергии равно α_ν 𝐼_ν 𝑑σ 𝑑𝑟 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Чтобы найти количество движения, получаемое объёмом в направлении нормали к основанию, надо эту энергию умножить на cosθ/𝑐. Следовательно, указанное количество движения будет равно

cosθ

𝑐

α

_ν

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

Интегрируя это выражение по всем частотам и по всем направлениям, получаем полное количество движения, приобретаемое объёмом за время 𝑑𝑡. Оно равно

1

𝑐

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∫

α

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

cosθ

𝑑ω

,

или

1

𝑐

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∫

α

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

.

(4.54)

Обозначим через

𝑓

_𝑟

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

(4.55)

импульс силы светового давления, действующей на объём 𝑑σ𝑑𝑟 за время 𝑑𝑡. Из основного закона механики следует, что два последние выражения должны быть равны друг другу. Поэтому получаем

𝑓

_𝑟

=

1

𝑐

∫

α

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

.

(4.56)

Этой формулой даётся сила светового давления, действующая на единицу объёма.

Силу, действующую на элементарный объём, можно также представить как разность давлений на основания объёма. Обозначая через 𝑝_𝑟 световое давление, мы можем записать эту силу в виде

-

𝑑𝑝

_𝑟

𝑑σ

𝑑𝑡

.

(4.57)

Приравнивая друг другу выражения (4.54) и (4.57), находим

𝑑𝑝_𝑟

𝑑𝑟

=-

1

𝑐

∫

α

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

.

(4.58)

Применим последнюю формулу к звёздной фотосфере. Считая, как и раньше, что коэффициент поглощения не зависит от частоты, вместо (4.58) получаем

𝑑𝑝

_𝑟

=-

1

𝑐

𝐻α

𝑑𝑟

,

(4.59)

или, пользуясь (4.18),

𝑑𝑝

_𝑟

=-

𝑎

4

𝑇

4

𝑒

α

𝑑𝑟

.

(4.60)

Сравнение (4.60) с (4.45) даёт

𝑝

_𝑟

=

1

3

𝑎

𝑇⁴

.

(4.61)

Итак, в рассматриваемом случае для светового давления получается такое же выражение, как и при термодинамическом равновесии.

Выше мы считали, что фотосфера находится в равновесии под действием тяготения и газового давления, и поэтому в уравнении (4.42) под 𝑝 понималось только газовое давление. Будем теперь понимать под 𝑝 сумму газового давления 𝑝_𝑔 и светового давления 𝑝_𝑟. Тогда уравнение (4.42) запишется в виде

𝑑(𝑝

_𝑔

+𝑝

_𝑟

)

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

.

(4.62)

Пользуясь уравнениями (4.62) и (4.45), а также выражением (4.43) для газового давления и выражением (4.61) для светового давления, можно получить, как и выше, распределение температуры и плотности в фотосфере. Однако мы не будем делать этого, а найдём лишь отношение светового давления 𝑝_𝑟 к полному давлению 𝑝=(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟) Разделив (4.59) на (4.42) и положив α=ϰρ, получаем

𝑑𝑝_𝑟

𝑑(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟)

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

.

(4.63)

Полный поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере. Мы примем, что и ϰ=const. В этом случае интегрирование даёт

𝑝

_𝑟

-

𝑝

0

𝑟

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

(

𝑝

_𝑔

+

𝑝

_𝑟

-

𝑝

0

𝑟

),

(4.64)

где

𝑝

0

𝑟

— световое давление на поверхности звезды. Отсюда для глубоких слоёв фотосферы следует

𝑝_𝑟

𝑝

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

.

(4.65)

Для вычислений по формуле (4.65) надо знать величину ϰ (т.е. средний коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы). Для этого могут быть использованы формулы, приведённые в следующем параграфе. Вычисления показывают, что для звёзд типа Солнца величина 𝑝_𝑟/𝑝 — порядка нескольких тысячных, а для звёзд более поздних спектральных классов главной последовательности она ещё меньше. Следовательно, для этих звёзд световым давлением можно пренебречь по сравнению с газовым. Однако роль светового давления растёт с увеличением эффективной температуры звезды, и для горячих сверхгигантов отношение светового давления к газовому — порядка единицы.

§ 5. Зависимость коэффициента поглощения от частоты

1. Излучение и поглощение в непрерывном спектре.

До сих пор мы не касались вопроса о том, с какими физическими процессами связано излучение и поглощение энергии в непрерывном спектре. Переходя теперь к рассмотрению этого вопроса, обратимся к схеме энергетических уровней атома (рис. 4).

Рис. 4

Как известно, каждый атом может находиться в некоторых устойчивых состояниях с определёнными дискретными значениями энергии: 𝐸₁, 𝐸₂, …, 𝐸_𝑖, …. Эти значения энергии отрицательны 𝐸_𝑖<0. В соответствующих им состояниях внешний электрон связан с атомом, или, как иногда говорят, находится на эллиптической орбите. При переходах атома между такими состояниями происходит излучение и поглощение квантов в спектральных линиях.

Вместе с тем атом может находиться и в состояниях с положительной энергией 𝐸>0. В таких состояниях электрон не связан с атомом, т.е. находится на гиперболической орбите. Положительные энергетические уровни атома расположены непрерывно.