Курс теоретической астрофизики

Тогда уравнение (9.4) принимает вид

cosθ

𝑑𝐼_ν(𝑡_ν,θ)

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

-

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(9.6)

Наибольший интерес для нас представляет интенсивность излучения в линии, выходящего из атмосферы. Для этой величины из уравнения (9.6) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎝

-𝑡

_ν

sec θ

⎞

⎠

sec θ

𝑑𝑡

_ν

.

(9.7)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, мы обозначим через 𝐼_ν⁰(0,θ). Эта величина равна

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎝

-τ

_ν

sec θ

⎞

⎠

sec θ

𝑑τ

_ν

,

(9.8)

где τ_ν — оптическая глубина в атмосфере в непрерывном спектре вблизи линии, т.е.

τ

_ν

=

∞

∫

𝑟

α

_ν

𝑑𝑟

.

(9.9)

Отношение

𝑟

_ν

(θ)

=

𝐼_ν(0,θ)

𝐼_ν⁰(0,θ)

(9.10)

характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска звезды. Очевидно, что величина 𝑟_ν(θ) может быть найдена из наблюдений только для Солнца (и в принципе — для затменных переменных). Для обычных же звёзд из наблюдений определяется лишь профиль линии поглощения в спектре всего диска. Этот профиль характеризуется отношением

𝑟

_ν

=

𝐻_ν

𝐻_ν⁰

,

(9.11)

где 𝐻_ν — поток излучения, выходящего из звезды в частоте ν внутри линии, и 𝐻_ν⁰ — поток излучения, выходящего из звезды в непрерывном спектре вблизи линии. Величина 𝐻_ν определяется формулой

𝐻

_ν

=

2π

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

,

(9.12)

где 𝐸₂𝑡_ν — вторая интегральная показательная функция. Аналогичной формулой (с заменой 𝑡_ν на τ_ν) определяется и величина 𝐻_ν⁰ (см. §4).

Рис. 11

Если известна величина 𝑟_ν, то легко может быть найдена и так называемая эквивалентная ширина линии поглощения. Под ней понимается ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии (рис. 11). Обозначая эквивалентную ширину линии через 𝑊, на основании определения имеем

𝐻

_ν

⁰

𝑊

=

∫

(

𝐻

_ν

⁰

-

𝐻

_ν

)

𝑑ν

,

(9.13)

или, при использовании (9.11),

𝑊

=

∫

(1-𝑟

_ν

)

𝑑ν

.

(9.14)

Приведёнными формулами, определяющими профили и эквивалентные ширины линий, мы будем часто пользоваться ниже.

2. Определение профилей линий.

Для вычисления профилей линий поглощения мы должны знать зависимость между температурой 𝑇 и оптической глубиной 𝑡_ν. Точная зависимость между этими величинами может быть найдена только на основе расчёта моделей звёздных фотосфер. Однако некоторый интерес представляет и приближённая зависимость между 𝑇 и 𝑡_ν, которой мы сейчас воспользуемся.

Из формул (6.1) и (6.5) вытекает следующая приближённая формула, связывающая между собой температуру 𝑇 и оптическую глубину τ_ν в непрерывном спектре:

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1

+

β

_ν

α

α_ν

τ

_ν

⎞

⎟

⎠

.

(9.15)

При получении этой формулы предполагалось, что отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре α_ν к среднему коэффициенту поглощения α не зависит от глубины. Теперь мы допустим, что и отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, т.е. величина σ_ν/α_ν, также не зависит от глубины. Тогда на основании формул (9.5) и (9.9) имеем

𝑡

_ν

=

⎛

⎜

⎝

σ_ν

α_ν

+

1

⎞

⎟

⎠

τ

_ν

.

(9.16)

Подстановка (9.16) в (9.15) даёт

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1

+

β

_ν

α

σ_ν+α_ν

τ

_ν

⎞

⎟

⎠

.

(9.17)

Для нахождения величины 𝑟_ν(θ), определённой формулой (9.10), мы должны подставить (9.17) в (9.7) и (9.15) в (9.8). Делая это, получаем

𝑟

_ν

(θ)

=

1 + β_ν

α

σ_ν+α_ν cos θ

1 + β_ν

α

σ_ν cos θ

.

(9.18)

Формулой (9.18) определяется профиль линии на угловом расстоянии θ от центра диска. Аналогично получается выражение для величины 𝑟_ν, характеризующей профиль линии в спектре всей звезды:

𝑟

_ν

=

1 +

2

3 β_ν

α

σ_ν+α_ν

1 +

2

3 β_ν

α

α_ν

.

(9.19)

Очевидно, что в случае локального термодинамического равновесия линия поглощения возникает вследствие роста температуры с глубиной. Так как коэффициент поглощения в линии больше коэффициента поглощения в непрерывном спектре, то излучение в линии доходит до нас из менее глубоких слоёв, где температура ниже. Поэтому интенсивность излучения в линии и оказывается меньше интенсивности излучения в непрерывном спектре. Если бы температура в атмосфере была постоянной, то в формулах (9.18) и (9.19) мы имели бы β_ν=0, а значит 𝑟_ν(θ)=1 и 𝑟_ν=1, т.е. линий поглощения не было бы.

Следует иметь в виду, что приближённые формулы (9.18) и (9.19) могут в некоторых случаях обладать очень малой точностью, так как величины σ_ν/α_ν и α_ν/α, которые мы считали постоянными, могут в реальных атмосферах сильно меняться с глубиной.

Как уже сказано, для получения точных профилей линий необходимы предварительные расчёты моделей звёздных фотосфер. Эти расчёты дают распределение температуры и плотности в поверхностных слоях звезды, в которых возникают линии поглощения. Пользуясь такими данными, можно вычислить коэффициенты поглощения σ_ν и α_ν на разных глубинах, а значит, и оптические глубины 𝑡_ν и τ_ν в виде функций от геометрической глубины.