Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В качестве первого примера применения этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущений:

S

_ij

(p)=

 

d

⁴

xe

^ip·x

q

ⁱ

(x)

q

^j

(0)

₀

.

(7.2)

Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — для пропагатора S имеем выражение вида

S

_ij

(p)

^D

=

^ij

i

 -

1

p

-m+i0

p

-m+i0

x

 

 

g

²

t

_a

t

_a

₍₂₎

(p)

i

^il

^lj

^D

p

-m+i0

 

^l,a

+

члены высших порядков,

(7.3а)

где введено обозначение

₍₂₎

(p)=-i

d

^D

k

(

p

+

k

+m)

·

-g

+k

k

/k

²

.

^D

(p+k)

²

-m

²

k

²

(7.3 б)

Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)

Используя тождество

k(p+k+m) = (p+k)²-m²-(p²-m²)-(p-m)-k,

для массового оператора получаем выражение

₍₂₎

(p)

^D

=

-i

d

^D

k

{

(D-2)(

p

+

k

)-Dm-(

p

-m)

k

²

[(p+k)

²

-m

²

]

-

(p

²

-m

²

)

 

k

}

.

k

⁴

[(p+k)

²

-m

²

]

После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ->0) приходим к окончательному ответу

₍₂₎

(p)=(

p

-m)A

_D

(p

²

) +

mB

_D

(p

²

);

^D

(7.4 а)

A

_D

=

1

{

(1-)N

-1-

¹

dx[2(1-x)-]log

xm

²

-x(1

 

-x)p

²

16

²

₀

²

₀

-

(p

²

-m

²

)

¹

dx

x

}

;

₀

m

²

-xp

²

(7.4 б)

B

_D

=

1

{

-3N

+1+2

¹

dx(1+x)log

xm

²

-x(1

 

-x)p

²

16

²

₀

v

²

₀

-

(p

²

-m

²

)

¹

dx

x

₀

m

²

-xp

²

(7.4 в)

Здесь введено обозначение N=2/-_E+log4.

В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство

t

_a

t

_a

=C

_F

_ij

=

4

_ij

^il

^lj

3

(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде

S

_D

(p)=i

{

p

-m+g

²

C

_F

⁽²⁾

}

^-1

;

(7.5 а)

S

_D

=

i

1-C

_F

g

²

A

_D

(p

²

)

 +члены высших порядков.

p

-m{1-C

_F

g

²

B

_D

(p

²

)}

(7.5 б)

В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене ⁽²⁾ на ^exact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:

1-C

_F

g

²

(1-)N

(содержится в A

_D

)

16

²

(7.6)

(на него умножается свободный пропагатор S) и

1+3C

_F

g

²

N

(содержится в B

_D

)

16

²

(7.7)

(на него умножается масса кварка m). Но оба эти множителя конечны при условии /=0.

Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем главным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе k-> и дающие особенности в виде полюсов гамма-функции (/2). Но процедура размерной регуляризации позволяет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса k->0. Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции -(/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [134].

§ 8. Общие сведения о процедуре перенормировок

Рис. 5. Процесс рассеяния +u->e⁺d и глюонные поправки к нему.

Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме u->d+e⁺+ (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе сильных взаимодействий g в рассматриваемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5,а. Возможные глюонные поправки описываются диаграммами рис. 5,б-г. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, является комбинация p=p_y+p_u (обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней мере в рамках теории возмущений, сделать нельзя.

В действительности это не так. При построении теории была допущена некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие вида , где поле безмассовое. Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих полей, имеет вид

L=

(i

-m) + 1/2

+ g

.

(8.1)

Как уже говорилось выше, S -матрица определяется выражением

S

=

T exp i

d

⁴

xL

₀

(x)

^int

=

 

1+

i

ⁿ

d

⁴

x

¹

…d

⁴

x

_n

TL

₀

(x)

₁

…L

₀

(x)

_n

,

n!

^int

^int

 

ⁿ⁼¹

(8.2)

где входящие в лагранжиан L⁰_int(x) поля рассматриваются как свободные и записываются в нормально упорядоченной форме. Член L⁰_int совпадает с трилинейным членом выражения (8.1) после замены ->⁰, ->⁰:

L

₀

=

g:

⁰

⁰

:

⁰

.

^int

(8.3)

Но эта процедура некорректна. Очевидно, что поля, фигурирующие в выражении (8.1) не являются свободными, а их масса m не совпадает с массой, которую имеет поле в отсутствие взаимодействий. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида

m{1-

4

g

²

B

_D

},

3

а числитель умножен на выражение

1 -

4

g

²

A

_D

3

В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в лагранжиане: изменения мультипликативного типа

->Z

_{- 1/2}

_u

, ->Z

_{- 1/2}

_u

, g->Z

 

g , m->Z

 

m ,

^g

^m

(8.4)