Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

TL

₀

(x

₁

) … L

₀

(x

_n

) … .

n!

^int

^int

(2.1б)

Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия L⁰_int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида

a

|

TJ

(x)J

(y)

|

b

¹

²

(2.2)

где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан L_int слeдyющим выражением:

L

 =

L

+ J

(x)

(x) + J

(x)

(x) ,

^int

^int

¹

¹

²

²

(2.3)

в котором поля являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем

a

|

T exp i

d

⁴

x L

^int

(x)

|

b

=

a

|

b

+

i

a

|

d

⁴

x

{

L

₀

(x) +

J

₀

(x)

(x)

}

|

b

^int

ⁱ

ⁱ

ⁱ

+ … +

i

ⁿ

n!

a

|

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

T

x

{

L

₀

^int

(x

₁

) +

J

₀

ⁱ

(x

₁

)

ⁱ

(x

₁

)

}

x …

ⁱ

x

{

L

₀

^int

(x

_n

) +

J

₀

ⁱ

(x

_n

)

ⁱ

(x

_n

)

}

|

b

+ … .

ⁱ

Предположим, что поля бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O и O(²). Последние имеют вид

i

ⁿ

a

|

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

TL

₀

(x)

₁

…

[

L

₀

(x)

_i

]

 …

n!

^int

^int

^ij

x

[

L

₀

(x)

_j

]

… L

₀

(x)

_n

J

₀

(x)

_i

J

₀

(x)

_j

J

|

b

(x)

_i

(x)

_j

;

^int

^int

¹

¹

¹

²

здесь символ [L] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля в виде _i = _i(x-y_i), дифференцируя по переменным ₁ и ₂ и полагая ₁ = ₁ = 0, получаем уравнение Гелл-Манна - Лоу

a|TJ

¹

(x)J

²

(y)|b

=

²

₁

(x)

₂

(y)

x

a|T exp i

d

⁴

z

{

L

₀

^int

(z) +

 

ⁱ

J

₀

ⁱ

(z)

ⁱ

(z)

}

|b

=

ⁿ⁼⁰

iⁿ

n!

a|

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

TL

₀

int

(x

₁

)…

xL

₀

^int

(x

_n

)J

₀

¹

(x)J

₀

²

(y)|b .

(2.4)

Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)

²S

₁(x) ₂(y)

_{= 0}

=

TJ

¹

(x)J

²

(x) .

(2.5)

Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение

U(a,)SU

^-1

(a,) = S ,

(2.6)

из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:

S

⁺

S

=

SS

⁺

= 1 .

(2.7)

Записав выражение для S-матрицы в виде

S = i ,

где матричные элементы a||b представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора

Im

a

|

|

b

= 1/2

c

|

|

b

c

|

|

b

^*

.

^{all c}

(2.8)

(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать

=

g

^{n = 0}

g

ⁿ

_n

то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем

Im

a

|

₂

|

b

= 1/2

 

^{all c}

{

c

|

₀

|

b

c

|

₂

|

a

^*

+

c

|

₂

|

b

c

|

₀

|

a

^*

+

c

|

₁

|

b

c

|

₁

|

a

^*

}

.

(2.9)

Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b -> a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями _a и _a'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде

a',b'

|

S

|

a,b

=

lim

a',b',t'

|

a,b,t

.

t'->+

t->-

Если через p_i обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])

i

2(2)

^3/2

a

⁺

(p

_a

)

=

lim

d

x

e

^-ip_a·x

₀

⁺

(x) ,

t->-

то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа

a',b'

|

S

|

a,b

 =

i

d

⁴

x e

^-ip_a·x

(2)

^3/2

x(

²

+ m

₂

)

a',b'

|

₊

(x)

|

b

.

^a

^a

Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение

a',b'

|

S

|

a,b

 =

i

 x

-i

d

⁴

x

d

⁴

y e

^-ip·x

e

^ip·y

(2)

^3/2

(2)

^3/2

x

(

₂

 + m

₂

)(

₂

 + m

₂

)

b'

|

T

(y)

₊

(x)

|

b

.

^x

^a

^y

^a'

^a'

В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей

0

|

T

(y)

(z)

₊

(x)

₊

(w)

|

0

.

^a'

^b'

^a

^b

Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом р_а и спином и обозначая соответствующее ему поле буквой , получаем

a',b'|S|(p

_a

,),b=

=

i

(2)

^3/2

d

⁴

x

a',b'

|

(x)

|

b

(

+ m

_a

)u(p,)

e

^-ip_a·x

.

Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей T⁰₁ (x)₁⁰₂ (x)₂. Поля _i можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

_i

(x)

=

1

d

k

(2)

^3/2

2k

⁰

x

{

e

^-ik·x

₊

(k,)a

₊

(k,) + e

^ik·x

_-

(k,)a

₊

^-

(k,)

} ,