Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрицы или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние T(x)…(z)₀. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум - вакуум

0|^S|0=

 

lim

^t'->-

0|e

^{-i(t''-t')^H}

|0;

^t''->+

введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство

0|^S|0=N

 

^x

d(x) exp iA, A=

d

⁴

x L;

(39.10)

здесь A - действие. Добавим к лагранжиану L член, содержащий источник:

L

=L+(x)(x), A

=

d

⁴

x L

,

и определим производящий функционал

Z[]=N

 

^x

d(x) exp iA

.

В дальнейшем будет показана справедливость соотношения

ⁿlog Z[]

(x₁)…(x_n)

₌₀

=

iⁿT(x₁)…(x_n)₀

^S₀

,

(39.12)

где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как

T(x

₁

)…(x

_n

)

₀

включая фазу ^S₀ в определение физической ^S-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет вид

L= 1/2

- 1/2 m^2^2

=- 1/2 {^2-m^2}+4-дивергенция.

Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле ' формулой

'(x)=(^2+m^2)

^1/2

(x),

которая справедлива при условии

'(x)

=

d

⁴

x K

^{- 1/2}

(x-y)(y),

K(z)

=

-1

(2)⁴

d

⁴

k

e^ik·z

k^2+m^2+i0

=i

(z).

(39.13)

Правило обхода полюса, задаваемое добавкой +i0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем

Z[]

=

N

 

^x

d'(x) det(/')

x

exp i

d

⁴

x

-1

2

'(x)'(x)+

d

⁴

y(x)K

^1/2

(x-y)'(y)

;

здесь det(/') - якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной к переменной '. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования:

'(x)=''(x)+

d

⁴

y K

^1/2

(x-y)(y).

Таким образом, окончательный результат имеет вид

Z[]

=

N

 

^x

d''(x) det(/'')

e

^-id4x-2/2

x

e

^{(i^2/2)d4xd4y (x)(x-y)(y)}

,

(39.14)

где (x-y) - пропагатор поля:

(x)=

i

(2)⁴

d

⁴

k

e^-ik·x

k²-m²+i0

=

T(x)(0)

₀

.

Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника ; следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение

Z[]=

N

exp

i^2

2

d

⁴

xd

⁴

y (x)

(x-y)(y)

,

(39.15)

из которого непосредственно получается соотношение (39.12).

Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как и в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутрующих c -числовых величин⁵²⁾, определяемых соотношениями

⁵²⁾ В математической литературе такая структура называется грассмановой алгеброй. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книге [37].

(x)(y)=-(y)(x), [(x)]^2=0.

Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением

F[]

=

K

₀

+

dx

₁

K

₁

(x

₁

)(x

₁

)+…

+

dx

₁

…dx

₂

K

_n

(x

₁

,…,x

₂

)(x

₁

)…(x

_n

)+…,

где K₁ - антикоммутирующая функция, а функции K_n при n>=2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной

F[]

(x)

=

 

lim

^->0

F[+_x]-F[]

  

,

где - антикоммутирующее c -число, удовлетворяющее условиям

=-, ^2=0.

следует справедливость равенства

ⁿF[]

(x_n)…(x₁)

₌₀

=n!K

_n

(x

₁

,…,x

_n

).

Отметим обратный порядок следования переменных x в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей в силу которой

²

₁₂

=-

²

₂₁

Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений

d(x)=0,

d(x)(y)=(x-y).

Наконец, если мы хотим получить одночастчно-неприводимые функции Грина, т.е. такие функции Грина, которые остаются связанными при рассечении их по одной внутренней линии, мы должны взять функциональную производную не по функции , а по новому полю от нового производящего функционала []:

[

]

=

1

i

log Z[]-

d

⁴

x (x)

(x),

(39.16а)

(x)

-ilog Z[]

(x)

.

(39.16б)

Отметим, что поле представляет собой вакуумное среднее оператора .

Доказательство того, что величина порождает одночастично-неприводимые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал , получаем

^2

(x)(y)

=-

(x)

(y)

=

-

(y)

(x)

^-1

=-i

^-1

(x-y),

откуда, в частности, следует равенство {^2/[(x)(y)]}=i; с точностью до коэффициента i пропагатор оказьшается равным одночастичнонеприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение

=

=-i

^-1

(x-y)

(39.17)

которое требовалось найти.

§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование