Квантовая магия

Как известно, статистическая физика исходит из следующего основного предположения (иногда это утверждение называют основной гипотезой статистической физики): замкнутая система с равной вероятностью может находиться в любом допустимом для нее состоянии. Состояние считается допустимым, если оно удовлетворяет наложенным на систему ограничениям. Основные ограничения — это ограничения по энергии и по числу подсистем (определяется размерностью гильбертова пространства).

Число допустимых состояний, в свою очередь, зависит от энергии. Поясню этот момент на примере системы из 10 двухуровневых подсистем (в двоичном базисе). Для состояния с максимальной энергией, то есть 1111111111, есть только одно допустимое состояние. Для состояния с чуть меньшей энергией, например, с одним нулем — уже 10 допустимых состояний, скажем, 1101111111, то есть 10 различных вариантов размещения 0. Это степень вырождения для данного значения энергии. Для состояния с двумя нулями число допустимых состояний (степень вырождения) равно 45 и т. д. Максимальное число допустимых состояний (252) имеет место для состояний из 5 единиц и 5 нулей, то есть состояний типа 1101011000. Здесь работает комбинаторика, и в целом мы имеем гауссово распределение для числа допустимых состояний.

Таким образом, энтропия (логарифм от числа допустимых состояний)[71] является функцией энергии (числа единиц в нашем случае), то есть:

(m) = g(m),

где m — энергия (число единичек); g(m) — степень вырождения для данного значения энергии (число допустимых состояний, соответствующих этой энергии).

Минимальная энтропия будет равна нулю (одно состояние) для состояний 1111111111 и 0000000000 (для состояний с максимальной и минимальной энергией), а максимальное значение энтропии в нашем примере равно 5,53 (252).

Такая схема позволяет ввести формальное понятие энергии для любой нефизической системы, состояния которой заданы в двоичном базисе, и оно будет согласовано с понятием энтропии.

Можно также достаточно просто показать, почему при взаимодействиях (при обмене энергией) возникают суперпозиционные состояния и квантовая запутанность.

Согласно статистической физике, при взаимодействии двух подсистем энергия перераспределяется таким образом, чтобы объединенная система имела максимальное число допустимых состояний (энтропия была максимальна). Объединенная система стремится к равновесию, к наиболее вероятностной конфигурации (к вершине «колокола» на гауссовой кривой).

Суммарная энергия m = m₁+ m₂ при этом остается постоянной, а меняются значения энергии подсистем m₁ и m₂ (энергия перераспределяется). Обозначим эти новые значения m'₁

и m'₂. Система стремится к равновесному состоянию, при котором относительные энергии равны, то есть выполняется условие[72]

/N₁ = m'₂/N₂ = m/

N,

где N₁₍₂₎ и N — размерность подсистем и объединенной системы (число двоичных позиций), N = N₁ + N₂.

Например, пусть начинают взаимодействовать две подсистемы 00000 и 11111 с энергией m₁ = 0 и m₂

= 5, размерностью N₁ = 5, N₂ = 5, и образуется объединенная система размерностью N = 10 (как в нашем предыдущем примере). Мы будем иметь m/N = 1/2, то есть значения m'₁ и m'₂, согласно условию равновесия, должны быть равны 2,5, что невозможно реализовать без суперпозиционных состояний, то есть состояния каждой из наших подсистем должны быть равны 1/2(00000 + 11111), а это максимально-запутанное cat-состояние.

Можно даже предположить, что здесь справедлив и более общий вывод: при объединении двух систем (одинаковой размерности) с минимальной и максимальной энергией объединенная система стремится к максимально cat-состоянию.

В нашем примере «на бумаге» можно иногда обойтись без суперпозиции состояний, скажем, когда объединяются подсистемы четной размерности. Но условие равновесия должно работать во всех случаях, и без суперпозиции состояний здесь не обойтись — этот вариант работает всегда.