Квантовая магия

Более подробное рассмотрение основного разложения матрицы плотности целесообразно начать с самого простого случая двухуровневой системы (кубита). Напомню также, что все матрицы плотности — .

В матричном анализе доказывается утверждение, что всякую матрицу 2 × 2 можно однозначно записать в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и трех матриц с нулевым следом, так называемых матриц Паули, в частности, любая матрица плотности 2 × 2 представляется в виде:

= 1/2 (Е + + + ),

где — единичная матрица, α, β, γ — вещественные числа, а и — матрицы Паули [см. (3.12)]. Мы уже пользовались такой формой записи в выражении (3.11).

Этот результат для матриц 2 × 2 является частным случаем хорошо известного в квантовой теории общего утверждения, что любая матрица плотности произвольной размерности может быть записана в виде[98]:

_ε = (1 — ε) + ερ₁, (3.14)

где d = 2^N — размерность гильбертова пространства системы, состоящей из N подсистем; = 1_d/d — максимально смешанное состояние (нормализованная единичная матрица плотности, след которой равен 1); 1_d — единичная матрица размерностью d; ρ₁ — произвольная матрица плотности; ε — вещественный параметр (0 ≤ ε ≤ 1).

В форме (3.14) часто анализируют состояния[99], когда ρ₁ = |ñá|.

_ε = (1 — ε)+ ε|ñá|.

Выражение (3.14) можно переписать в виде:

_ε = + ε(ρ₁ — ). (3.15)

То есть любая матрица плотности может быть представлена в виде суммы матрицы максимально смешанного состояния (с единичным следом) и матрицы с нулевым следом (ρ₁ — ), напомню, что след у ρ₁ тоже равен единице.

Таким образом, состояние произвольной системы имеет двуединую природу, содержит в своей структуре две качественно различные составляющие: одна часть неизменная, вечная (максимально смешанное состояние), и вторая часть динамическая (если система динамическая, параметр ε может быть, например, функцией времени).

Рассмотрим более детально, что такое максимально смешанное состояние. Наверное, это будет легче понять на примере кубита. Только для начала мы запишем вектор состояния кубита |ñ = a|0ñ + b|1ñ в виде нужной матрицы плотности. Этот вектор состояния зависит от четырех вещественных параметров (a и b — комплексные числа). Число параметров можно уменьшить до двух, воспользовавшись двумя дополнительными условиями, налагаемыми на вектор состояния, — условием нормировки |a|²+ |b|²= 1 и одним из постулатов квантовой механики, согласно которому состояния не меняются, если их умножить на фазовый множитель exp(±). То например, состояния |0ñ и exp() |0ñ тождественны. Это следствие того факта, что модуль комплексной экспоненты равен единице.

Следовательно, необходимы лишь два независимых вещественных параметра, чтобы однозначно задать вектор состояния кубита. Обычно в качестве таких параметров выбирают два угла и , которые однозначно определяют точку на сфере Блоха (см. рис. 1). В этом случае

a = —/2) (/2)

b = /2) sin(/2),

а вектор состояния записывается в виде:

|ψñ = exp(—/2)(/2) |0ñ + exp(/2)sin(/2) |1ñ. (3.16)

Матрица плотности тогда равна сумме двух матриц ρ₁ и ρ₂:

. (3.17)

Нам еще пригодится вектор состояния

|ψñ = (/2) |0ñ+sin(/2) |1ñ, (3.18)

и соответствующая ему матрица плотности:

. (3.19)

Можно заметить, что (3.16) получается из (3.18) унитарным преобразованием

,

то есть чистым вращением вектора состояния (3.18), которое характеризуется параметром . Несложно определить, в чем состоит физическое отличие векторов состояния (3.16) и (3.18). Они связаны соотношением |ñ^rot = U|ñ, которое означает переход между неподвижной и вращающейся системой координат. То есть вектор (мы записали для внутреннего состояния системы — он описывает то, что происходит с точки зрения самой системы. Система «чувствует», что она переходит из одного состояния в другое, и никаких других изменений для нее не существует. Это вид «изнутри» системы. В этом случае ее вектор состояния характеризуется лишь одним вещественным параметром . Можно предположить, что это собственное внутреннее время системы, то есть параметр, с которым меняется ее внутреннее состояние.