Квантовая механика и интегралы по траекториям

Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке b с вероятностью её обнаружения в точке d, если точки b и d расположены за атомом на одинаковом расстоянии R_a+R_b от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесённую к единице объёма вероятность P(d) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину |K₍₀₎(d,a)|^2, т.е.

P(d)

ед. объёма

=

m

2h

3

u^2

T(R_a+R_b)^2

,

(6.41)

так что

P(b)

P(d)

=

m

2h^2

2

|v(q)|^2

(R_a+R_b)^2

R^2_a

+R^2_b

.

(6.42)

В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию V(q).

Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния ¹). Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение а определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т.е. функцией угла между векторами R_a и R_b. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку b.

¹) В литературе вместо термина «эффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» или «эффективное поперечное сечение». Все эти термины совершенно эквивалентны.— Прим. ред.

Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку d мишени и отклоняются на угол , попадая на площадку, измеряемую телесным углом d.

Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку d. Вместо этого они попадают в точку b, разбрасываясь по площади R^2_bd. Вероятность обнаружить частицу в точке d обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке d.

Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке b обратно пропорциональна площади R^2_bd, по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки b. Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью d рассеиваются на угол . В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них — на угол . Итак, элемент площади d, который мы использовали в наших расчётах, есть аффективное

поперечное сечение рассеяния на угол , отнесённое к единице телесного угла d, в которой рассеиваются частицы.

Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии R_a с мишенью площадью d то эти частицы уже не попадут в область d, где они имели бы разброс в круге с площадью [(R_a+R_b)/R_a]^2d. Вместо этого они полетят в телесном угле d в направлении b и будут, следовательно, иметь разброс по площади R^2_bd, как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку b к вероятности её попадания в точку d, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:

P_b

P_d

=

(R_a+R_b)^2 d /R

₂

^a

R

₂

^a d

.

(6.43)

Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть

d

d

=

m

2h^2

2

|v(q)|^2

.

(6.44)

Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесённых к единице объёма, такое сравнение невозможно.

Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.

Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала V(r).