Квантовая механика и интегралы по траекториям

и запишем S=S_част+S_взаим+S_поле. Таким образом мы разделили действие S₃ для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием S_поле, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия S₃ выбросить члены, содержащие _k. В результате получим

S

_поле

=

(

a

_*

^1k

a

 

^1k

-

k^2c^2

a

_*

^1k

a

 

^1k

+

a

_*

^2k

a

 

^2k

-

k^2c^2

a

_*

^2k

a

 

^2k

)

d^3kdt

(2)^3

,

(9.31)

а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно

S

_взаим

=

4

(

j

_1,-k

a

_1k

+

j

_2,-k

a

_2k

)

d^3kdt

(2)^3

.

(9.32)

Простая вариация полного действия S по переменным a_1k и a_2k даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развёрнутом виде действие S_взаим записывается так:

S

_взаим

=

4

 

^j

(

a

_1k

q

_1j

+

a

_2k

q

_2j

)

e

^ik·q_j(t)

d^3kdt

(2)^3

,

(9.33)

где q_1j и q_2j — поперечные (по отношению к вектору k) компоненты вектора q_j. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие S, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными q_j(t), a

_1k(t), a_2k(t). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты e^iS/h и рассматривается в § 2.

§ 2. Квантовая механика поля излучения

Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения

S

=

S

_поле

(9.34)

которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию S для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).

Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению k в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой =kc. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой a_1k) возможные энергетические уровни будут равны

E

_1k

=

n

_1k

+

1

2

hkc

,

(9.35)

где n_1k — произвольное положительное целое число или нуль.

Если n_1k=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом hk. В общем случае мы имеем n_1k таких фотонов, и энергия каждого из них равна hkc.

Задача 9.5.

Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4c)ExBd(объём). Покажите, что в вакууме (при этом _k=0 последнее выражение равно k(a*_k·a_k)d^3k/(2)^3.

Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией h. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.

Тот факт, что n-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность n «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел n_j отличны от нуля лишь два (например, n_a=1, n_b=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии a, а другой — в состоянии b. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии b, а второй — в состоянии a. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две -частицы, координаты которых обозначим соответственно через x и y; состояние частицы x будем описывать функцией f(x), а частицы y — функцией g(y). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: x и y:

(x,y)

=

f(x)

g(y)

.

(9.36)

Обратной ситуации, когда частица y находится в состоянии f, а частица x — в состоянии g, соответствует другая волновая функция:

(x,y)

=

g(x)

f(y)

,

(9.37)

которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае -частиц, то эти два состояния неразличимы. Мы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения Шрёдингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой -частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией

(x,y)

=

f(x)

g(y)

+

g(x)

f(y)

(9.38)