Квантовый ум. Грань между физикой и психологией

3. Там же, стр. 128-129.

4. Интересный взгляд на это примирение с точки зрения теологии содержится в книге Брайяна Хайнеса «Шепот Бога, гром творения» (Brian Hines, God’sWhisper, Creation’s Thunder)

5. Мерчант К. цит. ист., (С. 169).

6. См. например, захватываеющее футуристическое предсказание Мичио Каку в его «Гиперпространстве».

7. Мерчант К. цит. ист., (С. 168).

8. Sommers, 1978.

9. Там же.

10. Мерчант К. цит. ист., (С. 279).

11. Интересно, что Лейбниц называл духом материи то, что физики называют кинетической энергией (mv²/2).

11. Дифференциальное исчисление и просветление

Уже в течение, по меньшей мере, двадцати пяти столетий математика составляет неотъемлемую часть интеллектуального воспитания и наследия человека. Однако за этот длительный период времени не было достигнуто общего согласия в отношении природы ее предмета, равно как и не было дано его общепринятого определения.

Карл Бойер в книге «История исчисления»

Я люблю танцевать. Чтобы выучить новый танец, я должен учить шаги, делать один или два шага в одном направлении, а затем делать еще один шаг в другом направлении. В этом помогает счет. Он говорит мне, сколько шагов я сделал. Но шаги – это не танец. В определенный момент шаги становятся неважными, и я обнаруживаю, что танцую.

Арифметика, числа и счет важны для того, чтобы учиться танцевать и описывать это другим. Но числа не танец. Точно так же, для описания замысловатых событий, происходящих в природе, нам необходимо нечто новое сверх простого счета, нечто, способное описывать движение и течение. Нам необходимо дифференциальное исчисление[14]. Возможно, некоторых из нас учили, что дифференциальное исчисление – это сложная, серьезная и трудная вещь. Я хочу показать вам, что дифференциальное исчисление не только содержит в себе множество интересного, но и может вести к просветлению.

Скорость и изменение

Исчисление (calculus) – это латинское название счета, которое связано со словом для обозначения камешков, вероятно потому, что все мы учились считать, откладывая маленькие камешки. Исчисление бесконечно малых представляет собой область математики, которую первоначально разрабатывали Лейбниц, Ньютон и другие в 1600-х гг. для того, чтобы описывать изменения лучше, чем была способна делать обычная математика того времени. Обычные процедуры счета не слишком хорошо справлялись со скоростью и ускорением. Арифметика может иметь дело с шагами, которые нужны, чтобы попасть из одного места в другое, но не с плавным движением, которое происходит между промежуточными точками.

Для разработки и понимания представлений, лежащих в основе дифференциального исчисления, математике потребовалось время примерно от 1660 до 1830 гг. В нашем совместном путешествии мы, вместо того чтобы изучать историческое развитие дифференциального исчисления для понимания его основ, будем заново разрабатывать его сами.

Давайте на время обратимся к эмпирике. Подумайте о движении и скорости. Скорость – это мера ОР для обозначения того, как быстро вы можете проходить определенное расстояние. Если я иду со скоростью 3 километра в час, то буду способен проходить за 1 час 3 километра.

С одной точки зрения, это просто. В то же время это не просто, поскольку скорость 3 км/час говорит только то, что за 1 час я могу пройти 3 километра. Скорость описывает только начало и конец общего пути длиной 3 километра! Скорость 3 км/час ничего не говорит о том, что я делал на протяжении этого расстояния в 3 километра. Я мог двигаться быстрее или медленнее, чем 3 км/час. Скорость говорит только о том, что если бы я двигался с постоянной скоростью 3 км/час, то мне потребовался бы 1 час, чтобы пройти 3 километра. В промежутке могло бы происходить много разных вещей. Я мог бы останавливаться, чтобы отдохнуть, и все равно двигался бы со средней скоростью 3 км/час, если бы после отдыха шел быстрее.

Чтобы продемонстрировать своим слушателям разницу между средней скоростью движения между двумя точками и мгновенной скоростью в данной точке, я обычно совершаю небольшую прогулку по аудитории, при этом говоря слушателям следующее: «Наблюдайте, как я двигаюсь по этой комнате. Здесь довольно тесно, но давайте считать, что я иду от стены рядом с доской, где я сейчас стою, до середины комнаты. Считайте мои шаги. Сколько шагов я, по-вашему, сделал?»

Один слушатель говорит что-нибудь вроде: «Вы прошли до центра двенадцать шагов». Тогда я спрашиваю: «Насколько быстро я шел?» Он говорит: «Не слишком быстро… Примерно три километра в час».