Квантовый ум. Грань между физикой и психологией

Теперь нам известно, что означает скорость движения между двумя точками, – это время, которое вам нужно, чтобы дойти от одной из них до другой. Если точки находятся далеко друг от друга, мы можем находить среднюю скорость. Допустим, вы подсчитываете, что в некоторой точке P между a и с вы, в среднем, проходили 2 + 4 фута за 2 секунды (см. ниже), что означает среднюю скорость 3 фута в секунду. Но если мы проводим более точные измерения, то знаем, что 3 фута в секунду – это средняя, а не ваша фактическая скорость в точке P!

Рис. 11.5. Время и расстояние для короткого пути

Но нам мало знать средние значения. Мы хотим достичь действительной определенности и знать, что означает скорость в одной данной точке.

Как мы можем говорить, что в одной точке вы идете со скоростью 3 фута в секунду или 3 мили в час? Эту проблему пришлось решать Ньютону.

Он полагал, что вашу скорость в данной точке P между

X и x можно приближенно вычислять, исходя из скорости между двумя точками вблизи P. Небольшое расстояние – скажем, 2 дюйма – в окрестности точки P выглядело бы следующим образом.

Рис. 11.6. Время и расстояние для более короткого пути

Допустим, наш секундомер показывает, что для прохождения этих двух дюймов, которые мы называем s, требуется очень небольшое время t, например одна десятая доля секунды. Тогда скорость в точке P равна отношению s /t, то есть двум дюймам, деленным на одну десятую секунды. Другим словами,

скорость = s /t = 2 дюйма в каждые 0,1 сек, или сокращенно:

 = s /t = 20 дюймов в секунду.

Если подсчитать, то 2 дюйма за одну десятую секунды равносильны 1,136 мили в час, что довольно медленно для человека. Скорость 1,136 мили в час означает лишь то, что если бы я продолжал идти 1,136 мили точно в том же темпе, в каком я шел те 2 дюйма, то прошел бы эти 1,136 за один час.

(Вот как это можно подсчитать: Умножая верх и низ отношения на 10, мы получаем 20 дюймов в секунду. Умножая на 60, получаем 1200 дюймов в минуту или 72000 дюймов в час, то есть 6000 футов в час или 1,136 американской мили в час, поскольку американская миля равна 5320 футов!)

3. Иными словами,  – это флюксия, которая определяется как

Lim s = s /t = v

t ->  0

(где термин «lim» означает предел s, когда t стремится к нулю)

Ньютон называл

v = Lim s = s /t

«флюксией». Позднее математики изменили название «флюксия» на «производная»; в нашем примере это производная s относительно t. Иногда ds/ dt пишут просто как букву s с точкой над ней. Это изменение названия весьма прискорбно, так как изучающие дифференциальное исчисление больше не слышат термин «флюксия» и забывают, что ds/dt – это, в действительности, флюксия – другой мир, который встречается с этим миром в пределе, когда детали становятся очень мелкими.

ds/dt составляет основу дифференциального и интегрального исчисления, которые играют ключевую роль в физике всего, что движется.

4. Как описано в примечании 3, флюксия представляет собой отношение двух дифференциалов, например пространства и времени, то есть ds/dt.

5. Помните старую сказку «Ханзель и Гретель», пересказанную Братьями Гримм? Маленький мальчик Ханзель и девочка Гретель сумели ночью найти путь домой из домика ужасной колдуньи по крупинкам, которые они оставляли по пути из дома в лес, где жила колдунья. Ночью, убегая от ведьмы, они следовали по пути крупинок.

II. Чувственная квантовая механика

12. Законы Ньютона и шаманизм

Откуда возникают все те порядок и красота, которые мы видим в мире?

Исаак Ньютон

На этом этапе нашего путешествия мы временно отойдем от духовной сферы математики, чтобы начать изучение физики, которая не могла бы существовать в своей теперешней форме без языка математики. После изобретения дифференциального исчисления физики могли использовать предложенное Ньютоном понятие флюксии, и физика впервые смогла описывать скорость, ускорение, и темп изменения любого количества по отношению к другим количествам. Рождались миры современной науки и техники.

Ньютон экспериментировал с движением объектов и использовал открытия в области исчисления для формулировки законов движения, на которых с 1600-х гг. в значительной степени основывались наши представления о мире общепринятой реальности. В этой главе мы будем рассматривать законы Ньютона и их связь с шаманизмом. В последующих главах мы узнаем, как из законов Ньютона развивалась квантовая механика.

УСКОРЕНИЕ

Измерение времени, требуемого для прохождения определенного расстояния, достаточно просто, пока мы не пытаемся измерять такое время и такое расстояние в окрестности данной точки. Мы только что узнали, что скорость в данной точке (то есть расстояние, деленное на время в данной точке) – это флюксия¹. В общем случае эту флюксию или производную можно записать следующим образом (изменение означает увеличение или уменьшение):