Квантовый ум. Грань между физикой и психологией

Имея симметричный шар, вы можете вращать его в любых направлениях, и его форма не меняется. Квадраты менее симметричны, чем круги. Вы может поворачивать круг или сферу как угодно, и они остаются теми же самими. Чтобы квадрат оставался одним и тем же, вы должны каждый раз поворачивать его точно на четверть оборота. Прямоугольники еще менее симметричны; чтобы они оставались одними и теми же, их приходится поворачивать на 180 градусов. Это справедливо и для крестов; если его перекладина выше основания, то крест симметричен при вращении справа налево или слева направо; при таком вращении его форма остается той же самой. Однако форма меняется, если вы переворачиваете его кверху ногами. Шестиконечная звезда симметрична при повороте на 60 градусов; для пятиконечной звезды угол поворота должен быть немного больше.

Рис. 26.2. Примеры симметричных объектов

В геометрии есть много симметричных структур, которые иллюстрируют нашу глубинную склонность становиться завершенными, цельными существами. Симметрии имеют фундаментальное значение и для законов физики. Немного дальше мы вместе исследуем происхождение этих симметрий.

История геометрии

Термин «геометрия» буквально означает «землемерие» и происходит от древнегреческих слов «гео» (земля) и «метрон» (измерять). История геометрии и наших представлений о пространстве, времени и форме Вселенной уходит на много тысячелетий в прошлое и связана с измерением и разделом земли. Когда древние вавилоняне и позднее греки обнаружили, что c² = a²

+ b², они очень обрадовались, так как до этого времени люди не могли точно вычислять расстояние, или гипотенузу, между углами своей территории; они не могли говорить о длине границ или заборов или размере своей земли.

Примерно три тысячи лет назад вавилоняне, жившие там, где сегодня находится Египет, хотели узнать, как велика Земля и насколько далека она от солнца. В качестве исходного пункта для своих измерений они использовали формулу c² = a² + b²

. Они вбивали в землю прямые шесты, направленные в небо, и замечали изменения угла, образуемого солнечной тенью, падающей на землю, в разные время дня и года. Исходя из этого, они могли вычислять расстояние от Земли до Солнца. На самом деле, наблюдая угол, образуемый солнцем в различное время года, и то, как двигалась его тень, вавилоняне не только догадывались, что Земля имеет круглую форму, но приблизительно определяли ее диаметр¹.

Рис. 26.3. Угол, образуемый солнцем на земле

Европейцы думали, что первыми открыли круглую форму Земли, но это не вполне верно. Вавилоняне знали это гораздо раньше, основываясь на своих геометрических теориях. Много лет спустя, примерно в 300 г. до н.э., древние греки начали изучение геометрии и заново открыли факты, уже известные египтянам. Древнегреческий философ Евклид написал тринадцать книг под названием «Начала»; четыре из них посвящались геометрии. Евклида часто называют первооткрывателем законов геометрии, но мы должны помнить, что именно вавилоняне – примерно в 1000 г. до н.э – первыми узнали, например, формулу для нахождения площади квадрата (равной квадрату одной из сторон)². По крайней мере, мы все еще признаем за африканцами честь открытия наших цифр, называемых «арабскими».

Открытие геометрических формул – например, формулы гипотенузы прямоугольного треугольника – приписывают древним грекам потому, что они доказали формулу путем дедуктивного рассуждения. До этого такой вещи, как доказательство, не существовало. Вавилоняне в большей степени полагались на опыт, чем на дедукцию. Они говорили: «Если это работает, то это верно». Европейцы предпочитали для своих доказательств дедуктивное рассуждение. Они говорили: «Это также должно быть логически непротиворечивым».

Кстати, оказывается, что две тысячи лет спустя, в 1931 г., австриец Курт Гёдель показал – с помощью дедукции, – что мы не можем быть уверены в абсолютной неопровержимости логических положений математики. Теорема Гёделя доказывает, что никакая математическая система не может доказывать саму себя³. Поскольку математика служит фундаментальным описанием физики, отсюда следует, что физические теории никогда не будут полностью законченными; будучи зависимыми от сегодняшней математики, они никогда не смогут достичь «замыкания». С дедуктивной точки зрения, математика внутренне противоречива и всегда будет вести к парадоксам.

Священная геометрия

В то же самое время, когда в античности были открыты логические формулы и геометрии, существовала и более мифологическая геометрия. Священная геометрия – это тот аспект математики, который не описан в ее истории, но этот аспект будет важен для нас в изучении Вселенной.