Лейбниц. Анализ бесконечно малых

Кроме двоичной системы счисления существуют другие подобные. Одна из них — восьмеричная: в ней только восемь цифр, от 0 до 7, и следующее значение вместо 8 — это 10. Но, возможно, наиболее используемой является 16-ричная система — на основе 16. Для нее требуется 16 различных цифр, а у нас есть только 10, поэтому недостающие цифры заменяются буквами. В результате в 16-ричной системе имеются цифры 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Двоичная	8-ричная	16-ричная
0000	00	0
0001	01	1
0010	02	2
0011	03	3
0100	04	4
0101	05	5
0110	06	6
0111	07	7

Двоичная	8-ричная	16-ричная
1000	10	8
1001	11	9
1010	12	А
1011	13	B
1100	14	С
1101	15	D
1110	16	Е
0111	17	F

Преимущество 16-ричной системы в том, что мы можем использовать только одну цифру для первых 16 значений, для чего в двоичной понадобилось бы четыре. В информатике базовая единица информации называется бит, который может иметь значение 0 или 1. Программное обеспечение компьютера работает с байтами, образованными из восьми битов; следовательно, каждый байт может принимать значение от 0 до 255, и ему нужно восемь двоичных цифр. Обычно это очень широко используется в кодировании цветов. Любой цвет в цифровом виде образован смешением трех первичных цветов, красного (red), зеленого (green) и синего (blue), что известно как код RGB. Каждому из таких первичных значений присваивается число от 0 до 255, показывающее интенсивность этого цвета, участвующего в составном цвете. Часто цвет представляют в виде шести 16-ричных цифр, чтобы указать его код RGB.

Цвет	RGB
Белый	#FFFFFF
Зеленый	#00FF00
Желтый	#FFFF00

Цвет	RGB
Коричневый	#800000
Пурпурный	#FF00FF
Циановый	#00FFFF

Цвет	RGB
Серебряный	#C0C0C0
Темно-серый	#5Е5Е5Е
Черный	#000000

Чтобы перейти от двоичного к десятичному, нам нужно учитывать разложение числа. В десятичной системе число 2357 равно

2357 = 2000 + 300 + 50 + 7 = 2 · 1000 + 3 · 100 + 510 + 7·1 = 2·10³ + 3·10² + 5·10¹ + 7·10⁰.

Аналогично, число 110 110 ₍₂, разложенное в двоичной системе, равно

110 110₍₂= 1·2⁵+1·2⁴ + 0·2³+1·2²+1·2¹ + 0·2⁰ = 32 +16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 54.

Во время поездки в Вольфенбюттель в 1696 году Лейбниц представил свою систему герцогу Рудольфу Августу, и она произвела на него сильное впечатление. Лейбниц придумал монету, на лицевой стороне которой было изображение герцога, а на обратной — аллегория, посвященная двоичной системе. Если точнее, он выгравировал таблицу с числами от 0 до 15 и их соответствующими двоичными значениями, а также примеры сложения и умножения двоичных чисел.

Лейбниц видел в данной системе представление собственной философии и аналогию непрерывного создания чего-то из ничего. Он также связывал ее с сотворением мира. Сначала не было ничего — 0, а в первый день был только Бог. Через 7 дней уже было все, поскольку 7 в двоичной записи — это 111, в этом обозначении нет ни одного нуля.

Когда в 1700 году Лейбниц был избран иностранным членом восстановленной Парижской академии наук, он послал туда работу, в которой была изложена двоичная система. Однако, хотя академики и выразили интерес к открытию, они нашли, что его систему очень сложно использовать, и стали ждать, пока ученый представит примеры ее применения. Через несколько лет он снова представил свое исследование, которое было принято лучше, но в этот раз связал его с гексаграммами "И Цзин". Лейбниц также написал статью под заголовком "Изложение двоичной арифметики".