Логика автономных систем (СИ)

Есть одна неочевидность, о которой редко вспоминают. Теория вероятностей начинается с опыта. Например, бросание монетки. Какая вероятность, что выпадет "орел" или "решка"? Конечно, 0,5.

Можно ли сказать, что вероятность выпадения каждой из сторон монеты в каждый момент времени и при любом очередном броске одинакова? Нет.

Хотя, теоретически это должно быть так.

Оказывается, выпадение двух "орлов" или "решек" подряд более вероятно, чем их равномерное чередование. Проверить на опыте это очень просто. Надо провести серию бросков. Например, будем отмечать выпадение "решки" как (+1), а выпадение "орла", как (-1) . На графике серии будем отмечать результат последовательного суммирования всех проведенных бросков, вычитая или прибавляя по единице.

И окажется, что нулевой результат, т.е. совпадение теоретической вероятности с фактом, это явление чрезвычайно редкое. Итоговая линия результата будет выписывать сложную кривую, то и дело, уходя далеко, то в положительную, то в отрицательную область.

Конечно, такая явная несогласованность расчетной статистической вероятности и её реального исполнения, как в данном примере, давно привлекли внимание ученых. По этой теме проведено немало исследований...

Вот, что пишет об этом, например, Ю.В.Чайковский:

"Если само блуждание устойчивым распределением не описывается, встает вопрос - как его описывать. Основную информацию дает исследование "точек возврата" (точек, в которых траектория блуждания пересекает ось абсцисс, т.е., иными словами, моментов, когда доля гербов в точности равна 1/2). Точки возврата являют собой случайную величину, дискретное распределение которой задается формулой из которой видно - вероятность z того, что за время 2n траектория ровно r раз вернется к оси абсцисс, максимальна при r=o, r=1 и монотонно убывает при r>1 [Феллер, 1964, с. 97; Колмогоров и др., 1982, с. 89]. Тем самым, самые вероятные исходы блужданий - с одним пересечением или без единого пересечения, так что случайная величина, описывающая число возвратов неограниченно долгого блуждания, имеет монотонно падающую однохвостую плотность. Характер убывания весьма различен по r и по n, что видно из асимптотической формулы:

Как видим, при данной длительности блуждания n вероятность иметь число возвратов r очень быстро убывает с ростом r, что и было отмечено в начале Введения: начавший проигрывать проигрывает с большой вероятностью и дальше. Казалось бы, вероятность z должна расти хотя бы с ростом длительности блуждания n, однако она при этом тоже убывает, пусть и очень медленно. И вот итог: "Чем продолжительнее серия бросаний, тем реже возвращения в нуль" [Феллер, 1964, c. 98].

Эта цитата взята из [30].

Вроде мы говорим только об одной случайности. Какой стороной упадет подброшенная монета..., а разговор начинался о наложении случайностей.

Как же так? А вот так...

В простом опыте с бросанием монеты, мы, сами того не замечая, ввели второй случайный процесс. Суммирование результатов.

Теперь уже работают две связанные случайные величины: сторона монеты и... изменение суммы. И если сторона монеты имеет только два равновозможных варианта, то сумма результатов в своем распоряжении имеет ... всю числовую ось. И точка 0, как совпадение расчетной вероятности с фактической, с каждым новым броском становится все менее вероятным исходом...

Парадокс, статистическое отклонение фактического значения от расчетной вероятности с каждым новым броском будет уменьшаться, а суммарное отклонение - нет.

Влияет ли каждый новый бросок на конечную сумму? Влияет, но чем больше бросков, тем меньше влияние. Когда бросков уже много, то весьма незначительно. И тем не менее, результат суммирования этих мелких случайностей может оказаться ошеломительным. А когда таких процессов суммирования несколько, и они идут одновременно, работая на общий результат, то какой он будет?

Непредсказуемый? Давайте, не будем торопиться с выводами...

Полный текст доступен в формате PDF (764Кб)

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1628-nic.pdf