Логика. Учебное пособие

ж) Математические действия делятся на сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и нахождение логарифма (правильное деление).

з) Животные делятся на хищников, травоядных, всеядных и млекопитающих (подмена основания).

и) Энергия бывает механической и химической (неполное деление).

1.13. Как складываются и умножаются понятия?

Помимо ограничения, обобщения, определения и деления понятий существуют еще две логические операции – сложение и умножение понятий.

Сложение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исходных понятий. Например, при сложении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой:

Умножение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят только школьники, являющиеся спортсменами и спортсмены, являющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто называемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (так же, как и результат сложения):

Мы привели примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения (школьник и спортсмен). В других случаях отношений между понятиями результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеется, будут иными. Читатель без труда сможет определить их для всех случаев отношений между понятиями с помощью круговых схем. Так, если два понятия находятся в отношении подчинения, например, карась и рыба, то результатом их сложения является родовое понятие рыба (т. е. логической суммой понятий карась и рыба будет множество всех рыб):

Результатом умножения понятий карась и рыба, находящихся в отношении родовидового подчинения, будет видовое понятие карась (т. е. логическим произведением понятий карась и рыба является множество всех карасей):

Так же, если два понятия находятся в отношении соподчинения, например, береза и сосна, то результат их сложения – это два объема данных понятий (т. е. логической суммой понятий береза и сосна будет как множество всех берез, так и множество всех сосен):

Результатом умножения соподчиненных понятий береза и сосна является нулевое понятие (т. е. логическое произведение понятий береза и сосна представляет собой пустое множество – не существует ни одной березы, которая могла бы быть сосной и наоборот):

Точно так же устанавливаются результаты сложения и умножения объемов двух понятий, которые находятся в отношениях равнозначности, противоположности и противоречия (см. 1.5.). Так, например, нетрудно догадаться, что если два понятия находятся в отношении равнозначности, то результат их сложения будет полностью совпадать с результатом их умножения (логическая сумма равнозначных понятий равна их логическому произведению). Так же понятно, что результатом умножения противоположных и противоречащих понятий является нулевое понятие и т. п.

Как правило, в естественном языке (т. е. том, на котором мы общаемся) результат сложения понятий выражается союзом или, а умножения – союзом и. В результате сложения понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является или школьником, или спортсменом, а в результате умножения этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является и школьником, и спортсменом одновременно.