Магия чисел

Здесь обратите внимание на то, что первое действие в задаче (600 х 658) является хорошей оценкой ответа. Но наш метод позволяет перейти от оценки к точному ответу.

Обратите также внимание, что во всех примерах сумма чисел, которые мы перемножаем в первом действии, такая же, как и исходные числа. Например, в задаче выше 900 + 829 = 1729, как и 876 + 853 = 1729. Это следует из равенства:

z + [(z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

Поэтому, чтобы получить число, которое надо умножить на 900 (оно будет в диапазоне «800 плюс»), нужно всего лишь взглянуть на последние две цифры суммы 76 + 53 = 129, чтобы вышло 829.

В следующем примере сложение 827 + 761 = 1588 подсказывает, что нужно перемножить 800 х 788, а затем из полученного результата вычесть произведение 27 х 39.

Этот метод настолько эффективен, что если задача типа «3 на 3», над которой вы думаете в настоящий момент, состоит из чисел, далеких друг от друга, то иногда можно видоизменить ее путем деления одного и умножения другого числа на одинаковое число (тем самым сблизив сомножители по величине). Например, задачу 672 х 157 можно решить следующим образом.

Когда перемножаемые числа одинаковы, метод совместной близости генерирует такие же вычисления, как и в традиционном методе возведения в квадрат.

Метод сложения

Когда ни один из предыдущих методов не работает, я ищу возможность использовать метод сложения, в особенности если первые две цифры одного из трехзначных чисел просты в разложении. Например, в нижеприведенном примере 64 (первые две цифры числа 641) раскладывается как 8 х 8, поэтому я его решаю следующим образом.

По тому же принципу в примере ниже 42 из числа 427 раскладывается как 6 х 7, поэтому можно использовать метод сложения, представив 427 в виде 420 + 7.

Часто я разбиваю последнюю задачу на сложение на два этапа, как показано ниже.

Поскольку задачи, решаемые методом сложения, требуют определенных усилий, обычно я ищу другой способ, который приведет к простым вычислениям в конце процесса решения.

Например, задачу, показанную выше, можно решить с помощью разложения. Вот какие действия я бы выполнил:

В самых простых задачах, решаемых методом сложения, одно из чисел содержит 0 в середине числа, как показано ниже.

Такие задачи, как правило, самые легкие из тех, которые можно решить аналогичным способом. Поэтому стоит приглядеться к задаче типа «3 на 3», чтобы определить возможность ее преобразования в задачу с нулями. Это окупается.

Например, в задачу 732 х 308 можно преобразовать следующие «безнулевые» примеры.

Мы уже упоминали, что другой способ решения данной задачи сводится к выполнению операций 308 х 366 х 2 и использованию преимущества близости чисел 308 и 366.

Щелкаем еще один «крепкий орешек»:

Метод вычитания

Метод вычитания — это орудие, которое я время от времени применяю, когда одно из трехзначных чисел можно округлить до простого трехзначного числа с нулем на конце, как в следующем примере:

Подобным образом решаем такую задачу:

Метод «когда все остальное не работает»

Когда все остальное не срабатывает, я применяю один очень надежный метод. При его использовании задача на умножение типа «3 на 3» разбивается на 3 части: задача типа «3 на 1», типа «2 на 1» и типа «2 на 2». По мере решения этих задач их ответы суммируются. Такие задачи всегда сложные, особенно если нельзя видеть исходные числа. Во время выступлений с задачами на умножение типа «3 на 3» и «5 на 5» у меня всегда под рукой записанные условия, но все расчеты я произвожу в уме.

Вот пример:

На практике вычисления выполняются так, как показано ниже. Иногда я использую фонетический код для хранения в памяти тысяч (здесь 447 = our rug) и сотен (здесь 1) — на пальцах.

Решим еще один пример, но на этот раз я разобью на части первое число. (Обычно я так поступаю с бóльшим из чисел, так решить задачу на сложение становится легче.)

Эти задачи встроены в примеры «5 на 5», которые находятся в следующем разделе.

УМНОЖЕНИЕ «5 НА 5»

Самая большая задача, которую мы попытаемся решить в уме, состоит из двух пятизначных чисел. Для выполнения умножения типа «5 на 5» вам необходимо в совершенстве овладеть навыком решения задач типа «2 на 2», «2 на 3» и «3 на 3» (а также уметь применять фонетический код). Решение задачи «5 на 5» — это просто вопрос сведения воедино всех типов задач, освоенных вами ранее. Как и при возведении в квадрат пятизначных чисел, вы будете использовать распределительный закон для разделения чисел на составные части. Например:

Основываясь на этом разделении, данную задачу можно разложить на четыре более простые задачи на умножение в стиле «крест-накрест», что я покажу ниже, как задачу типа «2 на 2», две задачи типа «3 на 2» и одну типа «3 на 3».

Далее суммируются решения всех этих задач. Вот как это выглядит:

Как и при возведении пятизначных чисел в квадрат, я начинаю с середины, берясь за задачу «3 на 2» (как самую трудную):