Математические головоломки и развлечения

Как ни печально, но приходится признать, что расцвет логики приводит к упадку искусства лжи и ныне даже лжецы вынуждены все в большей и большей мере прислушиваться к доводам разума. Выражая свое сожаление, мы имеем в виду условие и решение четвертой задачи из февральского номера Scientific American. Согласившись с предложенным там решением, мы вынуждены будем сделать вывод о том, будто лжеца, строго следующего традициям своего племени, всегда можно оставить в дураках. Такая ситуация неизбежно возникает всюду, где под ложью понимают беспрекословное выполнение правил, носящих довольно произвольный, ничем не обусловленный характер.

Задавая свой вопрос («Если бы я спросил, ведет ли эта дорога в деревню, ответили бы вы «да?»») и надеясь, что туземец распознает в нем как по форме, так и по содержанию составное логическое высказывание — импликацию — и сумеет разобраться в принимаемом этим высказыванием значении истинности, логик рассчитывает на известную изощренность туземца. Между тем, ничего не подозревающий туземец почти наверняка примет вопрос логика за странный способ изъяснения, связанный с изысканностью манер западных цивилизаций, и ответит на него, как на самый обычный вопрос «Эта дорога ведет в деревню?» С другой стороны, если логик с намерением подчеркнуть логический смысл вопроса пристально посмотрит на туземца, желаемая цель все же будет достигнута, хотя туземец и заподозрит, что его каким-то образом хотят надуть. Если он по праву зовется лжецом, то в свою очередь начнет контригру и оставит логика в неведении относительно того, какая же из дорог ведет к деревне. С этой последней точки зрения предложенное решение неполно. Если оке смысл термина «ложь» определить строго формально, то решение все равно нельзя считать удовлетворительным из-за его неоднозначности.

Исследование однозначных решений позволяет нам лучше понять природу лжи. В логике принято называть лжецом того, кто всегда говорит нечто, противоречащее истине. Неоднозначность такого определения станет очевидной, как только мы попытаемся предсказать ответ лжеца на составное высказывание типа: «Правда ли, что если эта дорога ведет в деревню, то вы лжец?» Сможет ли туземец правильно вычислить значения истинности обоих аргументов, чтобы с их помощью определить значение истинности всей функции и в своем ответе сообщить отрицание полученного результата?

Или же он займет более беспристрастную позицию и будет лгать не только другим людям, но и самому себе, подставляя при вычислении функции вместо аргументов их отрицания и сообщая отрицание вычисленного значения функции? Здесь необходимо различать просто лжеца, всегда говорящего неправду, и «честного» лжеца, постоянно изрекающего отрицание истины.

Вопрос «Правда ли, что если эта дорога ведет в поселок, то вы лжец?» может считаться решением только в том случае, если лжецы, о которых говорится в условии задачи, — «честные» лжецы. Честный лжец и честный «правдивец» должны оба ответить «да», если указанная дорога не ведет в деревню, и «нет» — в противном случае. Просто лжец ответит «нет» независимо от того, куда в действительности ведет дорога. Взяв в качестве вопроса вместо импликации эквивалентность, мы получим решение, пригодное как для просто лжецов, так и для честных лжецов. Вопрос при такой замене формулируется так: «Правда ли, что эта дорога ведет в деревню тогда и только тогда, когда вы лжец?» И лжец, и правдивый туземец ответят отрицательно, если указанная дорога ведет к деревне, и утвердительно, если она не ведет к ней.

Вряд ли можно надеяться, что какой-нибудь первобытный дикарь в совершенстве владеет алгеброй логики и может строго следовать правилам вычисления значений истинности булевых функций. С другой стороны, ни один хоть сколько-нибудь проницательный лжец не даст себя одурачить столь просто. Поэтому помимо двух уже названных категорий лжецов необходимо ввести в рассмотрение еще один их тип — лжеца, действующего с заранее обдуманным намерением, который всегда старается ввести того, кто с ним разговаривает, в заблуждение. Имея дело с таким противником, логик может в лучшем случае надеяться на то, что ему удастся максимально увеличить вероятность благоприятного исхода (то есть правильного выбора дороги). Ни один логический вопрос не может гарантировать успеха, ибо если лжец намеренно старается ввести своего собеседника в заблуждение, то, следуя своей тактике, он может обманывать его, нарушая при этом правила логики. В такой ситуации для логика важнее всего, чтобы избранная им тактика была психологически обоснованной. Такая линия поведения вполне допустима, поскольку, будучи примененной против «честного» лжеца и просто лжеца, она приносит еще больший эффект, чем в случае не столь легко поддающегося на удочку лжеца, намеренно вводящего собеседника в заблуждение.

Учитывая все сказанное, мы предлагаем в качестве наиболее общего следующий вопрос или его моральный эквивалент: «Известно ли вам, что в этой деревне пивом угощают бесплатно?» Правдивый туземец ответит «нет» и тотчас же отправится в деревню, а логик не спеша последует за ним.

Просто лжец и «честный» лжец ответят «нет» и также отправятся в деревню. Лжец, любящий вводить своих собеседников в заблуждение, будет исходить из предпосылки о том, что путешественник тоже любит морочить головы доверчивым слушателям, и изберет тактику в соответствии с этим предположением. Движимый двумя противоположными мотивами, лжец может попытаться убить двух зайцев, ответив, например, так: «Бр-р! Я терпеть не могу пива!» — и тут же побежать в деревню. Хорошего логика этим не проведешь. Достаточно предусмотрительный лжец, поразмыслив, поймет неубедительность такого ответа и, быть может, из любви к искусству решит пожертвовать своими интересами и пойдет по неправильной дороге. Лжец одержит победу по очкам, но зато логик сможет по праву отпраздновать моральную победу, ибо лжец наказан: его теперь гложет подозрение, что он упустил бесплатное пиво.