Математические головоломки и развлечения

Утверждение «все вороны черные» можно преобразовать в логически эквивалентное ему утверждение «все нечерные предметы — не вороны» способом, который в логике принято называть «прямым доказательством через обращение». Второе утверждение по смыслу тождественно первому; оно просто иначе сформулировано.

Очевидно, что существование любого объекта, подтверждающего второе утверждение, должно также подтверждать и первое.

Предположим, ученый ищет нечерные предметы для подтверждения гипотезы о том, что все такие предметы не являются воронами. Он сталкивается с каким-то красным предметом. Более близкое знакомство показывает, что это не ворона, а корова. Красная корова, безусловно, является подтверждающим примером положения «все нечерные предметы — не вороны» и поэтому увеличивает вероятность того, что логически эквивалентная гипотеза «все вороны черные» справедлива. Подобная аргументация, безусловно, применима и к белому слону, и к красной селедке, и к зеленому галстуку самого ученого. Как выразился недавно один философ, орнитолог, изучающий цвет ворон, мог бы продолжить свои исследования и в дождливый день, даже не замочив при этом ног. Для этого ему достаточно оглядеться в собственной комнате и отметить примеры всех нечерных предметов, не являющихся воронами!

Как и в предыдущих примерах парадоксов, трудность здесь, по всей видимости, кроется не в ошибочном рассуждении, а в том, что Хемпель называет «заблуждением интуиции».

Все сказанное приобретает еще больший смысл, если рассмотреть пример попроще. В фирме работает много машинисток, у некоторых из них рыжие волосы. Мы хотим проверить гипотезу о том, что все рыжие машинистки замужем. Проще всего подойти к каждой рыжей машинистке и спросить, есть ли у нее муж. Но есть и другой способ, может быть, даже более эффективный. Мы берем в отделе кадров список всех незамужних машинисток, затем подходим к девушкам из этого списка, чтобы увидеть, какого цвета у них волосы. Если ни одна из обследуемых не будет рыжей, то гипотеза полностью подтверждена. Никто не станет возражать против того, что каждая незамужняя машинистка, цвет волос которой отличается от рыжего, будет подтверждающим примером теории о том, что все служащие в данной фирме рыжие машинистки замужем.

Согласившись с предложенной выше программой обследования нечерных предметов, не являющихся в то же время воронами, или цвета волос машинисток, мы столкнемся с небольшим затруднением: малым числом обследуемых объектов. Если же мы попытаемся установить, все ли вороны черные, то обнаружится огромная диспропорция между числом всех ворон на земле и числом нечерных предметов. Каждый согласится, что проверка всех нечерных предметов представляет собой весьма неэффективный способ исследования. Наш вопрос несколько тоньше: есть ли рациональное зерно в утверждении о том, что обнаружение красной коровы в том или ином смысле может служить примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу? Становится ли наша первоначальная гипотеза хоть немного более правдоподобной при обнаружении подтверждающего примера, по крайней мере если речь идет о конечных множествах (рассмотрение бесконечных множеств завело бы нас слишком далеко)? Одни логики считают, что подтверждающий пример увеличивает правдоподобие гипотезы, другие в этом сомневаются. Они замечают, например, что красную корову точно с таким же основанием можно считать подтверждающим примером гипотезы «все вороны белые». Каким образом обнаружение отдельного объекта может изменить правдоподобие одной из двух взаимоисключающих гипотез?

Некоторые пытаются отделаться от парадокса Хемпеля смущенной улыбкой и недоуменным пожиманием плечами. Не следует забывать, однако, что многие логические парадоксы, которые долгое время считались пустыми забавами, безделушками, сыграли чрезвычайно важную роль в развитии современной логики. Точно так же анализ парадокса Хемпеля уже позволил глубоко проникнуть в существо некоторых сложных проблем индуктивной логики, основного средства получения всех научных результатов.

Глава 6. «ИКОСАЭДРИЧЕСКАЯ ИГРА» И «ХАНОЙСКАЯ БАШНЯ»

Вряд ли что-нибудь может произвести большее впечатление на математика, чем открытие связи между двумя на первый взгляд никак не связанными между собой математическими структурами.

Именно такое открытие сделал Д. У. Кроув. Он обнаружил связь между двумя популярными головоломками прошлого века — «Икосаэдрической игрой» и «Ханойской башней». Сначала мы расскажем о каждой головоломке в отдельности, а затем покажем ту неожиданную связь, которая существует между ними.