Математические головоломки и развлечения

С точки зрения математики самым интересным изобретением Лойда следует считать игру в пятнадцать. В конце сороковых годов нашего века интерес к игре в пятнадцать возобновился, коробочку с 15 квадратными шашками и сейчас еще можно встретить в магазинах игрушек. Общий вид этой головоломки показан на рис. 42.

Рис. 42

В коробочке могут свободно перемещаться 15 перенумерованных квадратных шашек. Два последних квадрата переставлены. Требуется, не вынимая из коробочки, передвинуть квадраты так, чтобы их номера расположились по порядку, а пустой квадрат оказался в правом нижнем углу. В семидесятых годах прошлого века игра в пятнадцать была в большой моде, ей посвящались даже научные статьи в математических журналах.

За правильное решение головоломки Лойд назначил премию в 1000 долларов. Десятки сотен людей клялись, что они решили задачу, но ни один так и не смог вспомнить ходы, чтобы записать их и получить за это премию. Назначая премию, Лойд ничем не рисковал, ибо предложенная им задача неразрешима. Из более чем 20 миллиардов всевозможных расположений квадратов ровно половину комбинаций можно получить, передвигая квадраты из начального расположения, показанного на рис. 42. Остальные расположения квадратов, в том числе и то, которое требуется найти, если воспользоваться терминологией теории перестановок, обладают другой «четностью», а перестановки, обладающие различной четностью, не переходят друг в друга при перемещении квадратов внутри коробочки.

Можно играть и по-другому: беспорядочно сложить квадратики в коробочку и, передвигая, пытаться расположить их по порядку номеров. Вероятность успеха, очевидно, равна 1/2. Существует простой способ, позволяющий узнать, можно ли получить данную перестановку В из любой другой перестановки А: для этого нужно лишь подсчитать число «транспозиций» (каждая транспозиция означает перестановку двух квадратов: их нужно вынуть из коробочки и поменять местами), которые необходимо совершить, чтобы превратить А в В. Если это число четно, то А и В имеют одинаковую четность и тогда, передвигая квадраты, А можно переводить в В и наоборот.

То обстоятельство, что транспозиция двух квадратиков автоматически меняет четность перестановки их номеров, положено в основу одной довольно злой задачи-шутки (разновидности игры в пятнадцать), выпущенной в продажу несколько десятков лет назад. На квадратиках, как показано на рис. 43, написаны не цифры, а буквы. На квадратах одного цвета (у нас они заштрихованы) написаны слова RATE и YOUR, на квадратах другого цвета слова MIND и PAL.[17]

Вы показываете квадраты с получившейся на них надписью своей жертве и затем перемешиваете их как угодно. При этом вы незаметно загоняете второе R в левый верхний угол. Ваша несчастная жертва, конечно, оставит букву R в левом верхнем углу и будет пытаться расположить по порядку остальные буквы.

Эта задача безнадежна, потому что, поменяв местами буквы R, вы изменили четность перестановки. В лучшем случае бедняга сможет получить «RATE YOUR MIND PAL».[18]

Из всех головоломок Лойда наибольшей известностью, несомненно, пользовалась его загадочная картинка «Таинственное исчезновение», запатентованная им в 1896 году. Картонный круг в центре прикрепляется к картонному квадрату. По окружности нарисованы 13 воинов, частично — на круге, частично — на квадрате.

Если круг немного повернуть, части воинов соединятся уже другому, а один воин совсем исчезнет! Эту головоломку неоднократно публиковали, поэтому на рис. 44 показана менее популярная, но в каком-то смысле более занимательная загадочная картинка, которая называется «Тэдди и львы». В одном положении круга вы видите семь львов и семь охотников, а в другом — восемь львов и шесть охотников. Откуда берется восьмой лев? Кто из охотников исчезает и куда он девается?

Рис. 44

Загадочная картинка Лойда «Тедди и львы». На картинке вверху — семь львов и семь охотников, на картинке внизу — восемь львов и шесть охотников.

В 1914 году, через три года после смерти отца, Лойд-младший издал гигантскую «Энциклопедию головоломок», в которой была собрана, несомненно, самая обширная коллекция задач, когда-либо появлявшаяся в одном сборнике. Из этой сказочной, давно уже ставшей библиографической редкостью книги заимствована следующая задача. На ее примере видно, как искусно умел старый мастер переделывать любую, пусть даже самую простую задачу, для решения которой не нужно владеть ничем, кроме умения логически мыслить и обращаться с дробями, превращая ее в захватывающе увлекательную головоломку.

В Сиаме очень ценятся два вида бойцовых рыб: большой белый окунь, называемый королевской рыбой, и маленький черный карп, известный под названием дьявольской рыбки. Эти виды рыб настолько враждуют между собой, что, едва завидев друг друга, бросаются в бой и бьются насмерть.