Математические головоломки и развлечения

Наш первый софизм чрезвычайно элементарен. Мы предпошлем ему занимательный парадокс, на примере которого великий немецкий математик Давид Гильберт любил объяснять необычные свойства наименьшего из трансфинитных чисел «алеф-нуль». Как-то раз хозяину одной великолепной гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, ни один из которых не был свободен, нужно было принять нового гостя. Хозяин вышел из положения очень просто: каждого из своих постояльцев он переселил в комнату, номер которой был на единицу больше номера прежней комнаты, в результате чего обитатель n-й комнаты переехал в (n + 1) — ю и освободил для нового гостя самую первую комнату. Как может поступить хозяин, если прибудет бесконечное множество новых гостей?

Ничуть не смущаясь, хозяин переселяет всех своих прежних постояльцев в комнаты с вдвое большими номерами (гость из комнаты 1 переезжает в комнату 2, гость из комнаты 2 — в комнату 4, гость из комнаты 3 —в комнату 6, гость из комнаты 4 — в комнату 8 и т. д.) и размещает вновь прибывших в освободившихся комнатах с нечетными номерами.

Но так ли необходимо хозяину иметь счетное число комнат для того, чтобы разместить новых гостей? В приведенных ниже стишках, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.

Их было десять чудаков,Тех спутников усталых,Что в дверь решили постучатьТаверны «Славный малый».— Пусти, хозяин, ночевать,Не будешь ты в убытке,Нам только ночку переспать,Промокли мы до нитки.Хозяин тем гостям был рад,Да вот беда некстати:Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.— Восьми гостям я предложуПостели честь по чести,А двум придется ночь проспатьВ одной кровати вместе.Лишь он сказал, и сразу крик,От гнева красны лица:Никто из всех десятерыхНе хочет потесниться.Как охладить страстей тех пыл,Умерить те волненья?Но старый плут хозяин былИ разрешил сомненья.Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,Просил пройти он в номер «А»И подождать немного.Спал третий в «Б», четвертый в «В»,В «Г» спал всю ночь наш пятый,В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлегС шестого по девятый.Потом, вернувшись снова в «А»,Где ждали его двое,Он ключ от «И» вручить был радДесятому герою.Хоть много лет с тех пор прошло,Неясно никому,Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.Иль арифметика стара,Иль чудо перед нами,Понять, что, как и почему,Вы постарайтесь сами.

Примером более тонкого математического софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число аравно меньшему числу b.

Начнем с равенства

а = b + с.

Умножив обе его части на а — b, получим

а2 — ab = ab + ac — b2 — be.

Перенесем ас в левую часть:

а2 — ab — ас = ab — b2 — be

и разложим на множители:

а(а — b — с) = b(а — b — с).

Разделив обе части равенства на а — b — с, найдем

а = b,

что и требовалось доказать.

Много неприятностей подстерегает того, кто неосторожно обращается с мнимой единицей i (квадратным корнем из -1). Об этом свидетельствует хотя бы следующее удивительное «доказательство» равенства 1 = — 1:

В планиметрии большая часть ошибочных доказательств связана с использованием неправильных чертежей. Рассмотрим, например, удивительное «доказательство» того, что площадь лицевой стороны многоугольника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «доказательство» придумано врачом-психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, открытый П. Керри.

Прежде всего начертим на листке бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам (рис. 82), и разрежем его вдоль прямых, показанных на верхнем рисунке.

Рис. 82Треугольник Керри.