Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

В «Ростки» просто играть, но сложно перебрать все варианты. Анализ игры, начинающейся с шести точек, занял у Дениса Моллисона 47 страниц. Никто не превысил эту планку до 1990 года, когда компьютер Bell Labs перебрал все варианты игры, начинающейся с 11 точек. На момент написания этой главы перебраны все варианты для игры, начинающейся с 40 точек, хотя Конвей перед кончиной в 2020 году скептически высказался на сей счет: «Вы поверите, услышав, что кто-то изобрел машину, которая может сочинить пьесу, достойную пера Шекспира? Это слишком сложно».

Отпугнула ли эта сложность игроков-любителей? Ничуть.

«На следующий день после того, как проросли "Ростки", – пишет Конвей, – в них стали играть все подряд. За чаем и кофе небольшие компании не могли взгляда оторвать от нелепых или фантастических вариантов развития игры… Общему поветрию поддались и секретари… Рисунки с "Ростками" можно было обнаружить в самых неожиданных местах… Даже мои дочки, которым три и четыре года, играли в них, хотя обычно я выигрывал».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что среди разделов современной математики топология – одна из наиболее (1) динамичных, (2) причудливых, (3) полезных и (4) красивых.

Эпитетов много, так что разберем их по порядку.

Топология динамична. Топологи живут в изменчивом мире растягивающейся резины, расплавленного металла и тающего мороженого. Они постоянно ищут инварианты: свойства, которые остаются неизменными, несмотря на все перипетии.

Наиболее известный инвариант – эйлерова характеристика. Для «Ростков» все сводится к простому уравнению (это заметил Эрик Соломон): точки + области = линии + фигуры.

Это уравнение верно на любом этапе игры для всех возможных сценариев, от простейшего до сложнейшего, независимо от того, начинаете ли вы с двух точек или с двух миллионов. В любой ситуации количество точек плюс количество замкнутых областей будет равно количеству линий, соединяющих точки, плюс количество отдельных фигур[12].

Это типично для топологии: в необузданно меняющемся мире мы находим стройные закономерности.

Топология причудлива. Вот забавное открытие Джона Конвея. Если количество ходов минимально, то в конце концов вы получите (грубо говоря) одну из этих фигур:

В классическом пособии «Выигрышные стратегии математических игр» объясняется, что окончательная конфигурация «будет представлять собой одно из этих насекомых (возможно, вывернутое наизнанку), к которому присосалось произвольное количество вшей (к некоторым вшам могут присосаться другие)».

В общем, вшей довольно много. Причем одни конфигурации, по замечанию Конвея, «вшивее» других.

Топология полезна. Несмотря на балаган с уховертками и вшами, топология помогает разобраться с самыми разными вещами, от запутанности ДНК до запутанности социальных сетей, не говоря уже о космологии и квантовой теории поля.

Рассмотрим знаменитую топологическую проблему: изоморфизм графов. Мы уже знаем, что две конфигурации в «Ростках» могут выглядеть по-разному, но быть структурно одинаковыми. Как определить, различаются ли две сети или они идентичны, хотя на первый взгляд непохожи?

Этот вопрос тревожит инженеров, сопоставляющих электрические схемы, компьютерщиков, кодирующих визуальную информацию, и химиков, ищущих соединения в базах данных. По сути дела, все эти серьезные люди играют в свои версии «Ростков».

Топология красива. Для многих знакомство с топологией начинается с ленты Мёбиуса. Возьмите полоску бумаги, перекрутите ее и склейте концы.

У ленты Мёбиуса всего одна поверхность: нет дихотомии «внутри» и «снаружи». Если вы решите использовать ее в качестве браслета и попытаетесь покрасить внутреннюю сторону в синий, а внешнюю в красный, ничего не получится. И это лишь одна из странностей. Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса вдоль? А если попытаться разрезать ее на три части?

Математик Дэвид Ричесон в книге «Жемчужина Эйлера» подсчитал, сколько медалей Филдса (самая престижная награда в области математики) досталось топологам. «Из 48 лауреатов, – пишет он, – примерно треть были награждены за работы в области топологии, и еще больше – за вклад в тесно связанные с ней области».

Если красота – дочь сложности и простоты, то «Ростки» – настоящее дитя любви.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Сорняки. Автор – Владимир Игнатович. Игроки могут рисовать на своей линии одну точку, две или ни одной.

Набери очки. Автор – Уолтер Джорис. Правила те же, что в «Ростках», но ведется подсчет очков. Если в результате вашего хода образуется замкнутая область, пометьте ее инициалами или цветом и подсчитайте количество точек на границе области (одна точка – одно очко). Рисовать новые линии внутри этой области запрещено. Когда все ходы будут исчерпаны, побеждает тот, у кого больше очков[13].