Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Главное, что мы можем дать своим ученикам, — стимулировать их к тому, чтобы они играли с числами и фигурами, размышляя, какие закономерности и идеи можно в них выявить. В предыдущей книге (Boaler, 2015a) я рассказала историю Сары Флэннери, которая получила звание «Молодой ученый года» за разработку нового математического алгоритма. В своей автобиографии Сара рассказывает о том, как развивала математическое мышление, начав с решения головоломок в доме своего отца, а также о том, что эти головоломки дали ей больше, чем школьный курс математики (Flannery, 2002). Успешные математики придерживаются подхода к этой науке и к пониманию ее концепций, который отличает их от менее успешных пользователей. Они стремятся понять ее и размышлять о ней, уверены в том, что они могут понять ее смысл. Успешные пользователи математики ищут закономерности и соотношения, анализируют связи. Они опираются на математическое мышление, понимая, что это наука о развитии, стремятся изучать и анализировать новые концепции. Нам необходимо прививать такое мышление ученикам с самого начала их взаимодействия с математикой.

Результаты исследований подтвердили важность мышления роста — убежденности в том, что ваш интеллект развивается и чем больше вы учитесь, тем умнее становитесь. Но чтобы исключить неудачи с математикой, необходимо, чтобы у учеников были установки на рост в отношении себя в сочетании с установками на рост в отношении математики и их роли в связи с этим. Детям необходимо воспринимать математику как концептуальную, развивающую дисциплину, которую необходимо осмыслить. Когда ученики воспринимают математику как последовательность коротких вопросов и фиксированного набора методов, они не могут понять, в чем ее смысл для их личностного роста и обучения. Когда ученики воспринимают математику как мир неизведанного, по которому они могут свободно путешествовать, задавая вопросы и анализируя взаимосвязи, они понимают, что их задача — размышлять, осмысливать происходящее и развиваться. И это значит, что у них есть математическое мышление.

Себастьян Трун, генеральный директор образовательной компании Udacity и исследователь из Стэнфордского университета, обладает математическим мышлением. Я начала работать с ним два года назад. Сначала я знала его как преподавателя информатики и человека, который изобрел беспилотный автомобиль, организовал первый курс MOOC и возглавлял группы по разработке Google Glass и Google Maps. Позже Себастьян перешел от ведения очень успешного онлайн-курса, который прошли 160 тысяч человек, к созданию компании дистанционного обучения Udacity. Мое сотрудничество с ним началось тогда, когда он попросил у меня совета по поводу курсов Udacity. Себастьян — пользователь математики высокого уровня, его многочисленные достижения известны во всем мире. Он написал ряд книг по математике, которые настолько сложны, что от них, как говорит он сам, «из головы может пойти дым». Но мало кто в курсе, что он много размышляет о подходах к пониманию и изучению математики. Когда я беседовала с Себастьяном о моем онлайн-курсе («Как изучать математику») для учителей и родителей, он рассказал, какую роль играет интуиция в освоении математики, решении проблем и осмыслении различных ситуаций. Он поведал, как в процессе создания роботов для Смитсоновского института возникла проблема. Дети и другие посетители института создавали фоновый шум, который дезориентировал роботов. Членам его команды пришлось разработать новые математические способы решения этой проблемы. В итоге Себастьян решил проблему интуитивно. Он рассказал, как сначала было найдено математическое решение, которое имело для него смысл на интуитивном уровне, после чего оно было доказано с помощью математических методов. Себастьян настаивает, что в математике нельзя двигаться дальше, если что-то не имеет смысла на интуитивном уровне. В рамках моего онлайн-курса он советует не работать с формулами или методами, которых дети не понимают, и «просто остановиться», если эти методы не имеют для них смысла.

Как же развивать у учеников математическое мышление, чтобы они были готовы изучать предмет на основе осмысления и интуиции? До начала учебы в школе это простая задача. Достаточно предлагать детям играть с головоломками, фигурами и числами, анализируя взаимосвязи между ними. Но в начальной школе действует система, в которой дети с раннего возраста обязаны изучать много математических методов: правила сложения, вычитания, деления и умножения. Именно тогда ученики отклоняются от математического мышления и у них формируется фиксированное, процедурное мышление. И крайне важно, чтобы учителя и родители представили детям математику как гибкую концептуальную дисциплину, суть которой сводится к размышлениям и осмыслению. Начало работы с числами — лучший пример двух типов мышления, которое мы можем сформировать у своих учеников: один тип отрицательный и приводит к неудаче, а другой положительный и ведет к успеху.

Чувство числа