Математика для гуманитариев. Живые лекции

В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Известия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» отступили от этого замечательного правила, написав математическую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).

А теперь — обещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.

Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состоять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой вершине должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.

Давайте обозначим за x — число шестиугольников, за у — число пятиугольников.

Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?

Слушатель: Граней?

А.С.: Да.

Слушатель:х + у.

А.С.: Правильно. Ровно столько, сколько в сумме количеств шести- и пятиугольников.

Г = х + у

(Г — количество граней).

Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?

Слушатели: 6.

А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиугольников вершин…

Слушатель: 6x.

А.С.: А у пятиугольников?

Слушатель: 5у.

А.С.: Значит, пишем 6x + 5у, но это не совсем то, что надо.

Обозначим поэтому не «В», а «М»,

М = 6x + 5у.

А.С.: Почему это не то, что надо?

Слушатели: Потому что вершины совпадают.

А.С.: Если мы разрежем мяч на лоскутки или, наоборот, не начнем сшивать, то сколько будет вершин у всех лежащих на столе лоскутков? Именно столько, 6x + 5у. А когда мы сошьем, некоторые вершины совпадут. Что надо сделать с этим числом, чтобы получить правильное число вершин?

Слушатель: Разделить на 3.

А.С.: Да. Правильно, потому что ровно — не больше не меньше, а ровно — 3 разных грани сходятся в каждой вершине:

Сколько ребер? Первый вопрос: сколько ребер до того, как мы сшивали? Столько же, сколько было до сшивания вершин:

М = 6x + 5у.

У любого многоугольника вершин и ребер одинаковое количество. А на что делить?

Слушатели: На 2:

Каждое ребро мы считали ровно два раза.

Теперь мы воспользуемся формулой Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что В − Р + Г = 2. Подставим в нее выражения через «x» и «у»:

Цель этой формулы — доказать, что у = 12. Давайте решать.

6x : 3 = 2x,

6x : 2 = Зx,

2x − Зx + x = 0.

Иксы ушли. Осталось уравнение относительно «у»:

(5y)/3 − (5y)/2 + y = 2.

Умножим все уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Умножим и правую, и левую часть. Справа будет 12. Слева будет: 10у − 15у + 6у. Отсюда

у = 12.

Чудеса, да? И никакого мошенничества!

Слушатель: Что-то тут есть от фокуса.

А.С.: Курс «Математика для гуманитариев» — это курс черной магии плюс ее разоблачение. В чем здесь фокус? Природа фокуса в том, что сократились все шестиугольники. Получается, они ни на что не влияют. Можно любое количество шестиугольников вклеить дополнительно в любой футбольный мяч, так как все х сокращаются[11]. А с «у» вы не можете сделать ничего, потому что сколько бы пятиугольников ни было у нас в запасе, их количество должно удовлетворять уравнению. А математики еще 3 тысячи лет назад научились решать линейные уравнения. У этих уравнений в нормальной ситуации всегда одно решение: у = 12 — единственное решение нашего уравнения. Поэтому сколько бы вас ни просили сшить футбольный мяч из 11 пятиугольников — не получится.

Слушатель: А если пятиугольников будет 24?

А.С.: Вы сошьете два футбольных мяча. Один не сошьется. Где-то будут торчащие, несшиваемые части.

Давайте теперь посмотрим на обычную бесконечную во все стороны плоскость. С одной стороны, это более простой объект, чем сфера, но, с другой стороны, она бесконечна во все стороны. Бесконечность — это такой краеугольный камень математики. И как с ней можно быть «на ты» — это очень важная тема. Кажется, плоскость, она и есть плоскость, посмотрел вокруг — везде плоскость. Но ведь она бесконечная… А как, кстати, можно понять, что земля не плоская?

В принципе, как я понимаю, то что древние люди считали Землю плоской — это сказки. Люди всегда знали, что она не плоская. Когда по морю идет корабль, сначала на горизонте появляются паруса. Как еще, кроме как искривлением, можно это объяснить?

Слушатель: Может быть, Земля не ровная именно в этом месте..

А.С.: От того, что ты видишь паруса, до понимания, что Земля может быть устроена как шар, уже, в общем, недалеко.