Математика для любознательных

Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но хотя старинный математик и рекомендует этот способ как - «самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел», - я не решаюсь все же его изложить здесь из опасения, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше. Между тем, этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху, а у нас в России употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Леонтия Магницкого[52] он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; на протяжении своей объемистой книги - 640 страниц большого формата - Магницкий пользуется исключительно «способом галеры», не употребляя, впрочем, этого наименования.

Заставка из «Арифметики» Магницкого (XVIII в.). По экземпляру, принадлежащему Я. И. Перельману.

В заключение покажем читателю эту числовую «галеру», воспользовавшись примером из упомянутой книги Тартальи:

Делимое - 888888000000088880000000888888 (88-частное

Делитель[53] - 99999000000009990000000099999

99999000000009990000000099

Мудрый обычай старины

Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие - похвальное правило, которому не мешало бы и нам следовать.

Любимым приемом поверки был так называемый «способ 9». Этот изящный прием, который полезно и теперь знать каждому, нередко описывается и в современных арифметических учебниках, особенно иностранных. Правда, он почему-то мало теперь употребляется на практике, но это нисколько не умаляет его достоинств.

Поверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также[54], что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, и то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему поверки девяткой, т. е. делением на 9. Покажем на примере, в чем он состоит.

Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:

Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся попутно числах также складываем цифры (делается это в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере, рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки (7 + 7 + 1 + 2 = 17; 1 + 7 = 8), - получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно: 5 + 3 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7, после всех упрощений, равно 8.

Поверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность - за слагаемые. Например:

Несложна и поверка умножения, как видно из следующего примера:

Если при такой поверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то чтобы определить, где именно кроется ошибка, можно поверить способом 9-ки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо поверить еще и сложение частных произведений. Такая поверка сберегает время и труд только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще, конечно, выполнить действие заново.

Как поверять по этому способу деление? Если у нас случай деления без остатка, то делимое рассматривается, как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю x частное + остаток. Например:

Выписываю из «Арифметики» Магницкого предлагаемое там для поверки девяткой удобное расположение:

Д л я у м н о ж е н и я:

Д л я д е л е н и я: