Математика для любознательных

Любое целое число килограммов, до 40 кг, вы можете отвесить такими гирями, кладя их то на одну, то на обе чашки весов. Не приводим примеров, потому что каждый легко может сам убедиться в полной пригодности такого набора гирь для нашей цели. Остановимся лучше на том, почему именно указанный ряд обладает этим свойством. Вероятно, читатели уже заметили, что числа эти - ряд степеней числа 3[71]:

3⁰, 3¹, 3², 3³.

Это значит, что мы обращаемся здесь к услугам троичной системы счисления. Гири - цифры этой системы. Но как воспользоваться ею в тех случаях, когда требуемый вес получается в виде разности двух гирь? И как избегнуть необходимости обращаться к удвоению гирь (в троичной системе ведь кроме нуля употребляются две цифры: 1 и 2)?

То и другое достигается введением «отрицательных» цифр. Дело сводится попросту к тому, что вместо цифры 2 употребляют 3-1, т. е. цифру единицы высшего разряда, от которого отнимается одна единица низшего. Например, число 2 в нашей видоизмененной троичной системе обозначится не 2, а, где знак минус над цифрой единиц означает, что эта 1-ца не прибавляется, а отнимается. Точно так же число 5 изобразится не 12, а (т. е. 9-3-1 = 5).

Теперь ясно, что если любое число можно изобразить в троичной системе с помощью нуля (т. е. знака отсутствия числа) и одной только цифры, именно прибавляемой или отнимаемой единицы, - то из чисел 1, 3, 9, 27 можно, складывая или вычитая их, составить все числа от 1 до 40. Мы как бы пишем все эти числа, употребляя вместо цифр - гири. Случай сложения отвечает при взвешивании тому случаю, когда гири помещаются все на одну чашку, а случай вычитания, - когда часть гирь кладется на чашку с товаром и, следовательно, вес ее отнимается от веса остальных гирь. Нуль соответствует отсутствию гири.

Задача № 46б

Как известно, эта система на практике не применяется. Всюду в мире, где введена метрическая система мер, применяется набор в 1, 2, 2, 5 единиц, а не 1, 3, 9, 27, - хотя первым можно отвешивать грузы только до 10 единиц, а вторым - до 40. Не применялся набор 1, 3, 9, 27 и тогда, когда метрическая система еще не была введена. В чем же причина отказа на практике от этого, казалось бы, совершеннейшего разновеса?

Решение

Причина кроется в том, что идеальный разновес удо - бен только на бумаге, на деле же пользоваться им весьма хлопотливо. Если бы приходилось только отвешивать заданное число весовых единиц, - например, отвесить 400 граммов масла или 2500 граммов сахара, - то системой гирь в 100, 300, 900, 2700 можно было бы еще на практике пользоваться (хотя и тут приходилось бы каждый раз долго подыскивать соответствующую комбинацию). Но когда приходится определять, сколько весит данный товар, то подобный разновес оказывается страшно неудобным: здесь нередко, ради прибавления к поставленным гирям одной единицы, приходится производить полную замену прежней комбинации другой, новой. Отвешивание становится при таких условиях крайне медленным и притом утомительным делом. Не всякий быстро сообразит, что, например, вес 19 кг получится, если на одну чашку поставить гири в 27 кг и 1 кг, а на другую 9; вес 20 кг - если на одну чашку поставить гири в 27 кг и 3 кг, а на другую - 9 кг и 1 кг. При каждом отвешивании приходилось бы решать подобные головоломки. Разновес 1, 2, 2, 5 таких затруднений не доставляет.

Предсказать сумму ненаписанных чисел

Задача № 47

Одним из наиболее поражающих «номеров», выполняемых феноменальным русским вычислителем Р С. Арраго, является молниеносное - с одного взгляда - складывание целого столбца многозначных чисел.

Но что сказать о человеке, который может написать сумму еще раньше, чем ему названы все слагаемые?

Это, конечно, фокус, и выполняется он в таком виде. Отгадчик предлагает вам написать какое-нибудь многозначное число, по вашему выбору. Бросив взгляд на это первое слагаемое, отгадчик пишет на бумажке сумму всей будущей колонны слагаемых и передает вам на хранение. После этого он просит вас (или кого-нибудь из присутствующих) написать еще одно слагаемое, - опять-таки какое угодно. А затем быстро пишет сам третье слагаемое. Вы складываете все три написанных числа - и получаете как раз тот результат, который заранее был написан отгадчиком на спрятанной у вас бумажке.

Если, например, вы написали в первый раз 83267, то отгадчик пишет будущую сумму 183266. Затем вы пишете допустим, 27935, а отгадчик приписывает третье слагаемое - 72064:

Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму 5-ти или 7-ми слагаемых, - но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с результатом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется здесь каким-то неизвестным вам свойством чисел. Каким?

Решение