Математика и искусство

С этого времени музыка, точнее теория Музыки или учение о гармонии, занимает Почетное место в пифагорейской системе Знаний. "Музыкантов"-пифагорейцев интересует не столько музыкальное искусство, реальная музыка звуков, сколько е математические пропорции и соотношения, которые, как считалось, лежат в основе музыки. Многие греческие математики, в том числе Евклид (III в. до н. э.) и Клавдий Птолемей (85? -165?), посвятили музыкальным созвучиям и построению музыкальной шкалы специальные сочинения. Впрочем, поиски математических закономерностей в музыкальных созвучиях вели и через два тысячелетия такие великие математики, как Иоганн Кеплер, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер.

Титульный лист книги Грегора Райха 'Маргарита философи-ка'. Фрайбург. 1503

Идея музыкальных соотношений настолько увлекла пифагорейцев, что они пытались обнаружить их всюду. В конце концов эта идея приняла "космические масштабы" и переросла в идею "всеобщей гармонии". Пифагорейцы утвердились в том, что вся Вселенная устроена на основе музыкальных, т. е. простых числовых, соотношений, что движущиеся планеты издают "музыку небесных сфер", а обычная музыка является лишь "отзвуком" царящей всюду "всеобщей гармонии" (см. гл. 7).

Таким образом, музыка и астрономия были сведены пифагорейцами к анализу числовых закономерностей, т. е. к арифметике и геометрии. Все четыре дисциплины стали считаться математическими и называться одним словом — "математа". Пифагорейское отношение к музыке как точной науке сохранилось и в средние века. Так, квадривиум (буквально — пересечение четырех дорог) — повышенный курс светского образования в средневековых университетах — состоял из четырех предметов: музыки, арифметики, геометрии и астрономии. "Высшая наука — математика — подразделяется на следующие искусства: арифметику, музыку, геометрию и астрономию — это определение римского писателя VI века Кассиодора (ок. 487- ок. 578).- Арифметика — учение о количестве, выражаемом числом, музыка же — учение, которое рассматривает числа по отношению к явлениям наблюдаемым в звуке". Вместе с тривииумом, содержавшим грамматику, риторику и диалектику, квадривиум составлял так называемые "семь свободных искусств" Это был, по мнению Кассиодора, своп элементарных знаний, необходимых монахам для понимания Библии, которму суждено было на протяжении целого тысячелетия представлять систему средневекового образования.

Как видим, термины "наука" и "искусство" в далекие времена античности практически не различались. Пифагорейцы называли математику и музыку родными сестрами. С тех пор дороги математики и музыки разошлись настолько, что их сопоставление сейчас многим покажется просто недоразумением. А ведь музыка пронизана математикой, как и математика полна поэзии и музыки! Это прекрасно чувствовали древние греки, и доказательство тому — содержание следующей главы.

6. Пифагорова гамма

Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.

Плутарх

Строго говоря, речь здесь пойдет о пифагоровом строе, а слово "гамма" вынесено в заголовок потому, что оно у всех ассоциируется с музыкой. Что же такое гамма и строй в музыке?

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней) некоторой музыкальной системы (лада), расположенных, начиная от основного звука (основного тона), в восходящем или нисходящем порядке. Название "гамма" происходит от греческой буквы Гγ (гамма), которой в средние века обозначали крайний нижний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд.

Важнейшей характеристикой музыкального звука является его высота, представляющая отражение в сознании частоты колебания звучащего тела, например струны. Чем больше частота колебаний струны, тем "выше" представляется нам звук.

Каждый отдельно взятый звук не образует музыкальной системы и, если он не слишком громкий, не вызывает у нас особой реакции. Однако уже сочетание двух звуков в иных случаях получается приятным и благозвучным, а в других, наоборот "режет" ухо. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, несогласованное — диссонансом. Ясно, что консонанс или диссонанс двух тонов определяются высотным расстоянием между этими тонами или интервалом.

Интервалом между двумя тонами назовем порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I₂₁ двух тонов — отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего[12]: