Математика и искусство

Но вернемся к нашим интервалам. Итак, октава делится на два неравных консонанса квинту и кварту, а квинта — на консонанс кварту и диссонанс тон. Тон-интервал и был принят за интервал между соседними по высоте звуками (ступенями) при построении пифагоровой гаммы. Здесь и находится ключ к построению лада. По мнению советского музыковеда Л. А. Мазеля, интервал квинты, разделенный на кварту и тон, является основным музыкальным элементом. Выбрав тон в качестве основной ладообразующей ступеньки, античным теоретикам осталось только отложить от основного звука , затем — еще один тон , а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты назвать полутоном Название это вполне оправдано, так как деление тона-интервала пополам по формуле (6.12) дает т. е. полутон практически равен половине тона^*. Так была получена основа всей древнегреческой музыки — тетрахорд — четырехструнный звукоряд в пределах кварты.

^* (Интервал, тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами.)

Ясно, что имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда:

дорийский: полутон — тон — тон;

фригийский: тон — полутон — тон;

лидийский: тон — тон — полутон.

Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу.

Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Мы уже выяснили, что октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки называли "гармония". Именно в античной теории музыки слово "гармония" обрело свое современное значение — согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получалось три:

Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон, разделительный тон обведен кружком. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона — полутон, 3 тона — полутон, или на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-cи-дo), а в дорийской и фригийской — почти натуральный минор^*.

^* ("Почти" потому, что в сравнении с натуральным минором (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской — повышена шестая.)

Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики

Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, т. е. построить ее пифагоров строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу f₁ = 1, oнаходим первый тетрахорд: f₁ = 1, f₂ = ⁹/₈, f₃ = ⁹/₈*⁹/₈=⁸¹/₆₄, f₄=⁴/₃. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f₅ = ³/₂f_l = ³/₂, f₆ = ³/₂f₂ = ²⁷/₁₆, f₇ = ³/₂f₃ = ₂₄₃/₁₂₈, f₈ = ³/₂f₄ = 2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

(6.14)

Это и есть канон Пифагора. По преданию, канон Пифагора впервые нашел практическое применение при настройке лиры легендарного Орфея.

Существовал и другой способ расположения тетрахордов в октаве. Античные теоретики "склеивали" тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Тогда дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. Если этот тон помещался внизу, то к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо-(под-), а если наверху — приставку гипер- (над-). Так получалось еще 6 гармоний, среди которых две пары (гипо-фригийская — гиперлидийская и гиподорийская — гиперфригийская) оказывались совершенно одинаковыми. Отбросив две лишние гаммы, оставалось семь основных ладов. Эти лады имели огромное значение не только в античной музыке, но и через тысячу лет продолжали жить в средневековых ладах, а через две тысячи лет живут в современных натуральных ладах. Правда, средневековые монахи перепутали названия своих ладов в сравнении с античными, что часто порождает различные недоразумения. В таблице 1 собраны все основные античные лады, указан порядок следования в них интервалов, считая, что нижний звук расположен слева, а верхний — справа, приведены их древнегреческие и средневековые названия и указано их наклонение. Разделительный тон обведен кружком.