Математика и искусство

Легко видеть, что 1

Поэтому положим

Уравнение (9.7) преобразуется к виду

(9.8)

Очевидно, что 1 Следовательно, полагаем

Тогда уравнение (9.8) примет вид

(9.9)

Так как , то для u получаем оценку 2 и получаем

(9.10)

С помощью таблиц логарифмов или простой проверкой на микрокалькуляторе находим оценку для v:2 отчего (9.10) примет вид

или

(9.11)

Для w справедлива оценка 3

Не будем более испытывать терпение читателей (процесс разложения иррационального числа в цепную дробь все равно бесконечен). А в качестве компенсации за длинные выкладки обратим внимание на то, что в наших приближениях (9.6) — (9.11) все время фигурируют музыкальные интервалы: октава (2), квинта (3/2), кварта (4/3), тон (9/8), полутон (256/243) и даже пифагорова комма ((3/2)12:27)!

Построим теперь соответствующую цепную дробь:

и выпишем подходящие дроби:

Первые три дроби 1; 0,5; 0,6 дают слишком грубое приближение к числу x = 0,58505... Четвертая дробь k/n = = 7/12 = 0,5833... является достаточно хорошим приближением. Она-то и положена в основу 12-звукового равномерно-темперированного строя (n = 12, k = 7, т. е. на седьмой ступени 12-звуковой гаммы находится темперированная квинта). Пятая дробь 24/41=0,58536 дает еще лучшее приближение. Таким образом, мы получаем еще одну равномерную темперацию, которая на 24-й ступени имеет практически идеальную квинту. Но ведь октава при этом делится на 41 ступень! Вряд ли кто отважится играть на столь сложном инструменте. Итак, именно 12-звуковая темперация является той "золотой серединой", которая обеспечивает достаточно чистое звучание консонансов при достаточной простоте музыкальной гаммы.

История создания равномерной темперации свидетельствует о том, как тесно порой переплетаются судьбы математики и музыки. Равномерная темперация в музыке появилась вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных величин в математике. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя (8.8) было бы попросту невозможно. Логарифмы стали той "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация.

И в заключение скажем несколько слов об одном любопытном и пока загадочном свойстве равномерной темперации. Согласно логике построения темперированной шкалы (9.1) все 12 мажорных, равно как и все 12 минорных, тональностей равномерно-темперированного строя должны звучать одинаково. Однако музыканты считают, что каждая тональность темперированного строя обладает своей неповторимой окраской. Так, композиторы единодушно сходятся в том, что до мажор характерен для светлого, солнечного настроения. Очень любил до мажор за жизнерадостность и оптимизм Бетховен. Вспомним 1-ю Симфонию и 1-й Концерт для фортепиано с оркестром Бетховена, написанные в до мажоре, которые как бы радостно перекликаются друг с другом; или его же 21-ю Сонату до мажор, названную за светлые и прозрачные тона именем богини утренней зари Авроры. Считается, что ми мажор выражает взволнованное, напряженное, мятущееся настроение. Поэтому именно ми мажор был так созвучен восторженной, страстно ищущей и терзаемой противоречиями душе Листа; в ми мажоре Листом написаны многие фортепианные произведения, транскрипции, "Фауст-симфония". В тональности фа диез мажор композиторы находят легкое, радостно возвышенное, романтическое настроение, столь характерное для творчества Шопена ("Баркарола", Экспромт соч. 36, Ноктюрн № 2 соч. 15). До минор считается тональностью мужественной печали, героико-трагических образов (вспомним огненный пафос "Патетической" сонаты Бетховена, знаменитый "революционный" этюд Шопена или шквальные кульминации 2-го Концерта для фортепиано с оркестром Рахманинова); ми бемоль минор - тональность глубоко трагических состояний. Например, Полонез № 2 соч. 26 — одно из самых скорбных творений Шопена.

Мы не можем сказать, отражают ли такого рода суждения какие-либо неизвестные пока объективные закономерности, или это дань устоявшейся традиции. Если мы имеем дело с традицией, то ее корни следует искать в пифагоровом строе. Действительно, в пифагоровом строе энгармонические звуки не только нетождественны, но и принципиально отличаются друг от друга по своим качествам и выразительности. В пифагоровом строе соль диез, например, находится на пифагорову комму выше, чем ля бемоль. Поэтому соль диез тяготеет к верхнему звуку ля и воспринимается светлее, чем ля бемоль, который направлен к нижнему звуку соль и потому кажется более мрачным. Следовательно, и все повышенные звуки восходящей линии квинтового ряда (диезные звуки) имеют светлый характер, тогда как пониженные (бемольные) звуки нисходящей линии квинтового ряда (см. (8.2)) несут мрачный оттенок. Итак, все та же пифагорова комма окрашивает бемольные и диезные звуки в противоположные цвета — темные и светлые. Теперь становится понятным, почему Шопен написал свой знаменитый траурный марш из 2-й Сонаты соч. 35 в си бемоль миноре - тональности с пятью бемолями, а "Баркаролу" — самое утонченное и поэтическое из своих произведений, ставшее символом интимной лирики в музыке,- в фа диез мажоре - тональности с шестью диезами. Вот почему похоронный марш из 12-й Сонаты написан Бетховеном в ля бемоль миноре - тональности с наибольшим числом, семью бемолями, хотя, по мнению знатоков, эта находка Бетховена во многом теряет в равномерно-темперированном строе фортепиано.

Так что же такое есть индивидуальная окраска тональностей: традиция, идущая от пифагорова строя, или неизвестная объективная закономерность? Окончательного ответа на этот вопрос пока не существует.

Вот так, вместо обещанной точки в конце параграфа мы вновь пришли к вопросительному знаку. Но ведь это и хорошо, ибо новые вопросы зовут нас в новые пути в неизвестное! А впереди у нас, пожалуй, главный вопрос всей второй части: в чем секрет "закона Пифагора"? Почему приятные для "уха" консонансные интервалы математически выражаются такими приятными для "разума" простыми целочисленными соотношениями 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5?