Математика и искусство

Однако это коварное "почти" до сих пор составляет одну из загадок музыки. В самом деле, почему именно 7, 11 и 13-й обертоны (14-й обертон является октавным повторением 7-го) не входят ни в один из музыкальных строев? Знаменитый "фальшивый" 7-й обертон третье столетие не дает покоя теоретикам музыки! С одной стороны, ясно, что неправильно называть этот звук фальшивым, ибо он дан самой природой, которую трудно упрекнуть в фальши. Но с другой стороны, все теоретики музыки, начиная с Рамо, были слишком большими музыкантами, чтобы включить седьмую гармонику в какую-либо музыкальную систему (седьмой звук явно "резал ухо"!). Впрочем, еще в XVIII веке французский музыкальный теоретик Балльер с присущей французу легкостью писал: "Разница между древностью и современностью заключается в том, что тогда начинали считать диссонансы с 5-го призвука, а теперь начинают их считать лишь с 7-го". Не пойдет ли развитие музыки так, что в новых музыкальных системах найдется место и 7, и 11, и 13-му обертонам?.. А пока молоточки фортепиано, следуя первому закону Юнга, ударяют на 1/8 длины струны, чтобы максимально снизить силу злополучного 7-го обертона.

Наконец, отметим еще одну важную особенность натурального звукоряда. Глядя на рисунок, мы видим, что 4, 5 и 6-я гармоники образуют мажорное звучание (до-ми-соль). А если к ним добавить еще и 1-ю, и 2-ю гармоники, то получится мажорное трезвучие в сопровождении октавного баса! Итак, мажорное трезвучие составлено из ближайших гармоник (4, 5 и 6-й) основного тона (баса мажорного трезвучия). Следовательно, оно не только консонирует, но и обладает акустическим единством, заложенным в самой природе колебания струны. Это дало основание одному из последних универсальных ученых — немецкому математику, физику, физиологу и психологу Герману Гельмгольцу (1821 — 1894) утверждать, что "мажорный аккорд наиболее натурален из всех аккордов".

Ну а минорное трезвучие? Споры о природе минора не затихают и по сей день. В них участвовали Рамо, Д'Аламбер, Руссо, Гёте, Гельмгольц, многие наши современники. На сегодня мнения сходятся в том, что поскольку в минорном трезвучии (до — ми-бемоль — соль) второй звук (ми-бемоль) лежит на полутон ниже пятой гармоники основного тона, то он образует с ней едва слышимый диссонанс, который и обусловливает некоторую "затененность", "нечто мрачное и неясное, необъяснимое для слушателя" (Гельмгольц). По o этой причине в музыке Баха, Генделя, Моцарта минорные произведения часто заканчиваются мажорным — наиболее натуральным, просветленным — аккордом.

Итак, в мажорной гамме третья ступень как бы тяготеет вверх, тогда как в минорной она тяготеет вниз. Движение же вверх воспринимается нами как восхождение к свету, просветление, радость. Напротив, движение вниз ассоциируется со спуском в темноту, затемнением, печалью. Эти объективные предпосылки поддерживаются, кроме того, определенной традицией применения мажора и минора. В тех же случаях, когда эти традиции нарушаются, мы встречаем разудалую песню "Яблочко", написанную в миноре, и молитву "Ave Maria", которую, несмотря на ее название — "Радуйся, Мария" — и мажорный лад, никак не назовешь веселой. К сожалению, смешивание объективных физико-математических законов строения мажора и минора с их субъективной эстетической оценкой породило вокруг них много ненужных споров.

В заключение остановимся еще на одной проблеме колеблющейся струны. До сих пор, следуя решению (10.9), мы пытались "разъять, как труп" колебания струны на простейшие гармонические составляющие. Но ведь на самом деле, опять же согласно (10.9), составляющие колебание струны гармоники складываются, образуя сложную картину колебаний. Характер этой картины зависит прежде всего от амплитуд гармоник. Решить эту задачу в общем виде не просто, поэтому остановимся на более простой задаче.

Пусть складываются два колебания постоянной и одинаковой амплитуды, равной для простоты единице, и разных частот ω₁<ω₂:

Суммарное колебание, пользуясь формулами суммы синусов и косинуса половинного угла, представим в виде

(10.13)

При сложении двух колебаний, близких по частоте (ω₁ = 8 и ω₂ = 10), возникают биения — периодическое усиление и ослабление звука, происходящее с частотой биений ω = ω₂ — ω₁ = 2