Математика и искусство

Но в теории архитектурных пропорций энциклопедии античного зодчества Витрувия суждено было стать источником глубоких заблуждений. Дело в том, что в своем сочинении Витрувий справедливо называет совершенными те сооружения, в которых достигнута "точная соразмерность" всех частей с основной мерой. Однако какой математический смысл вкладывал автор в эту фразу, оставалось неясным. После падения Рима о Витрувий, как и о всей античной "премудрости", надолго забыли, и только через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии был случайно обнаружен единственный экземпляр трактата. "Десять книг" мгновенно стали настольной книгой зодчих итальянского Возрождения, страстных поклонников античной классики. Авторитет Витрувия был огромен. Еще бы: ведь ему посчастливилось читать пропавший трактат самого создателя Парфенона, зодчего Иктина "О соразмерности дорийского храма на Акрополе"! И вот с тех пор "точную соразмерность", о которой говорит Витрувий, стали понимать в простейшем арифметическом смысле — как кратность всех частей сооружения основному модулю. Поясним, что это значит.

Модуль в архитектуре (от лат. modulus — мера) — это единица измерения, принимаемая для согласования размеров частей сооружения между собой и со всем сооружением. В качестве модуля в зависимости от особенностей конструкции и композиции здания принимались различные величины, например диаметр колонны в античной архитектуре или диаметр купола в византийском зодчестве. Еще чаще использовали так называемый линейный модуль, когда архитектурной мерой являлась непосредственно мера длины. В истории всех народов меры длины (вплоть до 10 декабря 1799 г., когда впервые была введена искусственная мера длины — метр) всегда естественным образом связывались с человеком: шаг, сажень, стопа, пядь, фут, дюйм, ярд... (Последний, например, был введен в 1101 г. указом английского короля Генриха I и равнялся расстоянию от кончика носа его величества до конца среднего пальца его вытянутой руки.) Так вот, "точную соразмерность" теоретики Возрождения поняли арифметически: модуль должен целое число раз ("точно"!) откладываться в каждой из частей архитектурного сооружения. Таким образом, в теории архитектуры допускались только рациональные пропорции, отношения целых чисел, а об иррациональных пропорциях не могло быть и речи. Это убеждение подкреплялось и тем, что в музыке, как мы знаем, со времен Пифагора также господствовали целочисленные отношения интервалов.

Но сами шедевры древней архитектуры безмолвно взывали к обратному: античные пропорции основаны на иррациональных отношениях! В самом деле, ведь "точную соразмерность" частей и целого можно достигнуть и другим путем — геометрическим. Например, построив квадрат со стороной АВ и измерив шнуром его диагональ АС, нетрудно было получить иррациональную пропорцию АВ/АС = 1/, даже не зная иррациональных чисел. Далее, отложив с помощью шнура на продолжении стороны АВ диагональ AC = AD, легко было построить прямоугольник с иррациональным отношением сторон DE/AD = 1/. Повторив эту операцию несколько раз, можно получить систему прямоугольников с иррациональными отношениями сторон. Ясно, что прямоугольник AHKN на рисунке (б) состоит из двух квадратов. Таким образом, мы получаем еще один практически удобный способ получения иррациональных отношений — систему двух квадратов. Два квадрата, приставленных один к другому, дают иррациональные отношения ВС/АС = 1/√5, АВ/АС = 2/√5, а с помощью двух операций циркулем или шнурком, как показано на рисунке (в), в них можно получить и золотое сечение ЕВ/АЕ = АЕ/АВ = (√5 — 1)/2 = φ, АВ/АЕ = АЕ/ЕВ=1/φ = (√5 + 1)/2 = Φ (см. (12.1)-(12.3)).