Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную

Вот очень упрощенная аналогия. Представьте себе маленький шариковый подшипник, приставленный сверху к вращающемуся прядильному колесу (оба находятся в одной плоскости, а гравитация отсутствует, и ничто не возмущает подшипник). Если колесо представляет собой идеально гладкую окружность, то оно никак не влияет на подшипник и может с тем же успехом покоиться. Дискретная модель n тел, однако, заменяет колесо на зубчатую шестеренку. Теперь каждый зубчик шестеренки ударяет по подшипнику, давая ему толчок в направлении вращения. С уменьшением зубчиков толчки не исчезнут, хотя и ослабнут, зато зубчиков будет больше. Так что снижение толчка за счет очень маленьких зубчиков — это не то же самое, что толчки от колеса вообще без зубчиков, которые равны нулю.

Данный аргумент нельзя воспринимать просто как неопределенные разглагольствования. Саари проводит расчеты, чтобы доказать, что сглаженный звездный суп не в состоянии адекватно моделировать распределение n тел для большого n

. В частности, в нем не учитывается эффект «буксировки». Однако в целом этот эффект может оказаться невелик, поскольку реальная динамика n тел сложнее, чем только что приведенный сценарий. Чтобы оценить важность эффекта буксировки, нам придется использовать точную модель системы n тел для всех звезд внутри оболочки и найти с ее помощью их суммарное действие на пробную звезду.

Лучший способ сделать это состоит в том, чтобы построить такое состояние системы n

тел, которое сохранит все ключевые свойства, предполагаемые у звездного супа, за исключением непрерывности. Если данное конкретное состояние изменяет уравнение Кеплера, мы можем быть практически уверены, что причина как раз в том, что n дискретных тел заменены непрерывным звездным супом. Эти ключевые свойства — симметричное распределение масс, при котором каждая звезда движется по окружности, и ее ускорение направлено к центру галактики.

Хотя в общем случае мы не можем записать в явном виде решения задачи n тел, существует один класс решений, для которых это может быть сделано, известный как центральные конфигурации. В этих особых состояниях концентрические круги звезд, напоминающие паутину, все вращаются с одной и той же угловой скоростью, как если бы конфигурация была жесткой. Эта идея восходит к работе Джеймса Кларка Максвелла 1859 года о стабильности колец Сатурна, упомянутой в главе 6 в качестве доказательства того, что кольца не могут быть сплошными и твердыми. Саари использует аналогичную идею, чтобы показать, что звездный суп не в состоянии правильно моделировать галактическую динамику.

Центральные конфигурации искусственны в том смысле, что никто не станет ожидать такой правильной формы от реальной галактики. С другой стороны, это разумный выбор для исследования того, как сочетаются непрерывная среда и модель n тел. Если выбрать в паутине достаточно радиальных линий и достаточно окружностей, мы получим очень плотный звездный суп, который хорошо аппроксимируется непрерывной средой. Паутинная конфигурация тоже удовлетворяет, с очень хорошим приближением, условиям симметричности, использованным при выводе уравнения Кеплера. Так что аппроксимация типа «звездный суп» должна, по идее, работать.

В частности, для вращающейся паутины должно выполняться уравнение Кеплера. Мы можем это проверить, использовав тот вариант, в котором распределение массы выражается через скорость на заданном радиусе. Поскольку паутина вращается жестко, скорость пропорциональна радиусу. Таким образом, уравнение Кеплера предсказывает распределение масс, пропорциональное кубу радиуса. Такой результат сохраняется, какими бы ни были на самом деле массы звезд в конфигурации.

Чтобы это проверить, мы проведем точный дискретный расчет n тел для паутины. Теория центральных конфигураций допускает значительную гибкость в выборе масс звезд. К примеру, если каждая звезда (а следовательно, каждое кольцо) обладает одинаковой массой, центральные конфигурации существуют, и распределение массы вдоль радиуса всегда меньше чем константа, умноженная на радиус. В данном случае, однако, из уравнения Кеплера может следовать, что масса самого далекого внешнего кольца в миллион раз больше массы внутреннего, даже в том случае, когда на самом деле их массы одинаковы. Так что точные расчеты не оправдывают упрощенную модель, из которой получено уравнение Кеплера. Напротив, по мере увеличения радиуса правильно вычисленная масса растет намного медленнее, чем предсказывает формула Кеплера.

Этот расчет доказывает, что модель в варианте звездного супа может дать результат со значительной ошибкой, даже когда предположения, на которых модель основана, выполняются. Несмотря на популярное выражение, отражающее бытовой, житейский взгляд на вещи, одного исключения достаточно, чтобы опровергнуть любое правило[103].