Математика нуждается в систематизации

Эти требования можно обобщить в виде принципов, в той или иной форме сформулированных учеными-классиками и ставших фундаментальными в прикладных науках, особенно, в физике. К ним относятся принципы неопределенности, сохранения, относительности и симметрии. Этот, пожалуй, исчерпывающий перечень фундаментальных в науке принципов должен стать своего рода эталоном для сравнения оснований рассматриваемых теорий, причем в первую очередь с точки зрения их наличия и использования в явном или неявном виде.

Выбранных путей не должно быть слишком много, чтобы не превратить их анализ в самостоятельное исследование, а сами они должны принадлежать к соперничающим научным течениям, что гарантирует от ошибок при выявлении наиболее общих принципов в построении математического аппарата.

Исходя из этих соображений, можно рассмотреть следующие классические теоретические направления в математике:

– теоретико-множественное направление, система аксиом которого известна как система Цермело-Френкеля;

– логизм Фреге-Рассела;

– интуиционизм Брауэра;

– формализм Гильберта;

– единая теория Вейля;

– единая теория поля Эйнштейна;

– всеобщая организационная наука – тектология Богданова.

Из наиболее популярных в настоящее время можно выделить теорию групп и топологию. Все эти теории претендуют или в свое время претендовали на универсальность, следовательно, их выбор не противоречит четвертому принципу системного подхода – принципу всеобщности результата.

Любой анализ того или иного объекта, а системный тем более, должен, во-первых, дать ответ на вопрос, достигнута ли поставленная цель. Во-вторых, при этом требуется определить причины, которые привели объект к известным последствиям. В-третьих, должно быть раскрыто содержание противоречий, свойственных этим причинам. И, в-четвертых, безусловно необходимым является количественная оценка каждого из противоречий по отношению к другим, т. е. определение их весомости.

На первый вопрос ответ дает история: ни одна из математических концепций экзамен на всеобщую универсальность не выдержала. Существует даже мнение, что такую единую теорию в принципе создать нельзя. Тем не менее поиски в этом направлении не прекращаются, очевидно, потому что результаты таких работ оказываются весьма плодотворными. Здесь все ясно: достичь абсолютной истины нельзя, но к ней надо стремиться.

Вопрос заключается в оценке направления движения к истине и темпов приближения к ней. Но этот вопрос относится к следующему этапу анализа – выявлению причин. Тщательный анализ перечисленных выше теорий, и не только их, показал, что все они опираются на фундаментальные принципы, независимо от того, признаются ли они авторами теорий, умалчиваются ли или категорически отрицаются. Более того, именно этими принципами и именно в такой их совокупности объясняется живучесть этих теорий и их полезность.

Другое дело, что авторы соответствующих теорий по-разному относились к ним и весьма неоднозначно их толковали, в результате чего и возникали различные противоречия по типу знаменитого парадокса Рассела в теории множеств. Так, квантовая теория поля строится, главным образом, на основе принципа неопределенности Паули, формализм Гильберта базируется на принципе непротиворечивости, единая теория поля Эйнштейна немыслима без принципа относительности, а многие открытия в ядерной физике обязаны теориям, в основе которых заложен принцип симметрии.

Вообще говоря, это вполне естественно, когда ученый берет в качестве первичного какой-то один фундаментальный принцип и относительно него комбинирует все остальные. Неестественным является категорическое отрицание других принципов, поскольку это приводит к казусам в науке, а иногда и к драматическим ситуациям. Последнее особенно характерно для экономических теорий русских ученых (А. Богданов, Е Бухарин и многие другие).

Математика – наука достаточно строгая, поэтому в ней произвола относительно какого-нибудь принципа значительно меньше, чем в других науках, ибо, отбросив его, невозможно сохранить строгость доказательств. Наглядный пример этого демонстрирует М. Клайн, описывая взгляды Лейбница на возможность построения универсальной логики. Перечислив три основных элемента, которые, по его мнению, являются необходимыми для такого построения (универсальный научный язык, исчерпывающий набор логических форм и набор основных понятий), он тут же делает оговорку, что к числу фундаментальных принципов следует отнести, например, закон тождества.

Совершенно очевидно, что по своей сути эти элементы вместе с законом тождества есть не что иное, как сформулированные выше четыре фундаментальных принципа математики. Современные математические теории, особенно такие "долгожители" как теория групп, имеют непреходящее значение для науки, очевидно, потому, что не просто сохраняют, но и специально оговаривают фундаментальные принципы.