Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Великих математиков не волнуют тривиальности наподобие пешеходных переходов и интенсивности автомобильного потока. Они смотрят умственным взором на нечто большее.

В 1998 году Сильвия Серфати[22] была поглощена вопросом: как определенные вихри эволюционируют со временем. Она даже написала об этом монографию («Вихри в магнитной модели Гинзбурга-Ландау»), но чувствовала, что зашла в тупик, решая эту головоломку.

«Много хороших исследований, — говорила она позже, — на самом деле начинаются с очень простых вещей, элементарных фактов, краеугольных кирпичиков… Прогресс в математике начинается с понимания системного случая, простейшего примера, в котором вы сталкиваетесь с той или иной задачей. И зачастую достаточно несложных вычислений; просто никому не приходило в голову рассмотреть задачу под таким углом».

Вы можете атаковать замок, ломясь в главные ворота и сражаясь с оборонительными силами лоб в лоб. Или вы можете попытаться лучше понять устройство замка — и, возможно, найти более легкий способ попасть внутрь.

Математик Александр Гротендик предложил другую метафору: представьте, что задача — это вкуснейший фундук, но лакомое ядрышко защищает скорлупа. Как расщелкать ее?

Есть два базовых подхода. Во-первых, взять молоток и бить по ореху, пока он не треснет. Результат достигнут, но этот метод грубый и требует усилий. Во-вторых, вы можете погрузить орех в воду.

По словам Гротендика, «время от времени вы трете орех, чтобы жидкость проникала внутрь, иначе вы потеряете время. Через недели и месяцы скорлупа становится мягче — и в один прекрасный день достаточно будет надавить рукой, чтобы скорлупа треснула, как очень спелое авокадо»[23].

В течение двух десятилетий Серфати урывками продвигалась вперед, потому что вместе с коллегами позволила скорлупе впитывать воду. Наконец в 2015 году она нашла верный путь и ринулась в атаку. Задача была решена за несколько месяцев.

В каждой области математики есть свой святой Грааль. Для многих статистиков Граалем было гауссово корреляционное неравенство[24].

«Я знаю людей, которые работали над ним 40 лет, — говорит Дональд Ричардс, специалист в сфере статистики из Пенсильвании. — Что касается меня, то я работал над ним 30 лет». Многие ученые предпринимали мужественные попытки — стостраничные вычисления, изощренные геометрические конструкции, новые гипотезы, основанные на математическом анализе и теории вероятностей, — но никто не добился Грааля. Некоторые усомнились и заподозрили, что этот Грааль — ложь и миф.

И вот в один прекрасный день в 2014 году Ричардс получил электронное письмо от немецкого пенсионера по имени Томас Ройен. В приложении был вордовский файл. Это выглядело странно: практически все математики набирают свои работы с помощью программы LaTeX. И зачем же бывший сотрудник фармацевтической компании обратился к ведущему исследователю в сфере статистики?

Выяснилось, что этот пенсионер доказал гауссово корреляционное неравенство. Он использовал аргументы и формулы, которые знакомы каждому выпускнику университета. Озарение пришло, когда он чистил зубы.

«Когда я увидел доказательство, — говорит Ричардс, — я сразу понял: оно верно». Ричардс чувствовал себя униженным и подавленным из-за того, что упустил такие простые аргументы, но, как бы то ни было, он был в восторге. «Помню, я подумал: какое счастье, что доказательство появилось еще при моей жизни! Честное слово, я был невероятно рад, когда его увидел».

История Ройена подтверждает поговорку моего любимого учителя физики[25]: «Не стреляй из базуки по мухам». Для математиков изысканность заключается в самоограничении.

Ноябрь 2010-го, город Окленд, штат Калифорния. Мне 23 года. На утреннем уроке тригонометрии я на все лады пытаюсь объяснить ученикам формулу Муавра. Безуспешно.

— Ну хорошо, начнем сначала! — восклицаю я. Пот градом катится по моему лицу. — Вы хотите возвести это комплексное число в энную степень, не правда ли? Тогда вы можете прибавить к заданному углу 2πk/n, потому что вы вернетесь в ту же точку. Ясно?

— Нет! — завопил целый класс подростков, закрывая уши. — Прекратите! Вы делаете только хуже!

Ученица по имени Вианни[26] подняла руку.

— Можно я попробую проверить, правильно ли я все понимаю?

— Пожалуйста… — вздохнул я. — Ни в чем себе не отказывай.

— Хорошо… Мы хотим поделить этот угол пополам, верно?

Подростки слегка поутихли.

— Если к углу мы прибавляем 360°, мы просто возвращаемся на исходную позицию, верно? 90° или 450°, по сути дела, одно и то же, мы просто прошли целиком всю тригонометрическую окружность и вернулись в ту же точку.

Подростки выпрямили спины.

— А если мы делим угол пополам, то 360° превращаются в 180°, и мы оказываемся на противоположной стороне тригонометрической окружности.

Класс осветили фотовспышки интеллектуальных озарений, как будто над головами подростков засияли электрические лампочки.

— Поэтому, — подытожила Вианни, — мы получаем два решения. Правильно?

Я на мгновенье задумался. Подростки подались вперед.

— Да, — кивнул я. — Прекрасно сказано.