Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Невероятно! Я изобрел координатную плоскость и совершил революцию в математике, наглядно изобразив алгебраические идеи, и поэтому мне платят кучу денег. Будем знакомы: меня зовут Декарт.

Или припомним, что возведение числа в квадрат всегда дает положительную величину. А что, если мы придумаем особое число, которое при возведении в квадрат дает отрицательную величину? И что тогда?

Вот это да! Мы изобрели мнимые числа, открыв возможности для исследования электромагнетизма и взломав математическую истину под названием «основная теорема алгебры»^{3}. Звучит неплохо, можно включить в резюме.

В каждом из этих случаев математики поначалу недооценивали преображающую силу смены правил. Ферма полагал, что его теорема доказывается крайне просто; как выяснилось, он заблуждался, и его сбитые с толку преемники бились над доказательством несколько веков. Идея Декарта о координатной плоскости (которую называют «декартовой системой координат» в его честь) вначале была высказана в приложении к философскому тексту^{4}; впоследствии текст забылся, а идея получила свое развитие. Над мнимыми числами издевались и смеялись несколько веков («настолько же неуловимые, насколько бесполезные», сказал великий итальянский математик Кардано[8]), пока их не признали настоящими и полезными. Кстати, само слово «мнимый»^{5} по отношению к таким числам изначально имело уничижительный смысл, и придумал это поношение не кто иной, как Декарт.

Легко недооценить новаторские идеи, если они родились не в результате серьезных размышлений, а во время игры. Кто мог предположить, что небольшая перемена в правилах (новая степень, новая визуализация, новое число) превратит фантазию в нечто официально признанное?

Не думаю, что математики на том пикнике думали о таких вещах, когда склонились над игрой в жесткие крестики-нолики. Но в этом и не было необходимости. Осознаём мы это или нет, но логическая игра по изобретению логических игр оказывает влияние на всех нас.

Глава 2. Как математику видят школьники?

Увы, эта глава будет краткой и мрачной. Я прошу прощения. Но я слишком занят, чтобы просить прощения даже за другие вещи, например за мои душеразжижающие уроки математики.

Вы понимаете, что я имею в виду. Для множества школьников заняться математикой означает записать карандашом предписанную последовательность действий. Математические символы ничего не символизируют; они просто пляшут по странице, выполняя бестолковые хореографические упражнения.

Вся эта математика, приятель, —

Побасенки и выдумки абака,

Сплошь синусы да греческие буквы,

Не значащие ровно ничего^{6}.

Позвольте принести два кратких извинения. Во-первых, я прошу прощения у своих учеников за то, что я часто заставлял их чувствовать себя как персонаж на этой картинке. Я пытался избежать подобных ситуаций; кроме того, я пытался отвечать на все электронные письма, экономить на мороженом и посещать парикмахерскую чаще, чем раз в четыре месяца. Пожалуйста, простите, ведь я обычный человек и ничто человеческое мне не чуждо.

Во-вторых, я извиняюсь перед математикой за все нанесенные мною раны. В свою защиту могу сказать: госпожа Математика, вы живете в неосязаемой башне количественных концепций, зацементированных абстрактной логикой, поэтому вряд ли я оставил на вашем теле глубокие шрамы. Но я не настолько заносчив, чтобы не попросить прощения.

Вот и все в этой главе. Обещаю: следующая будет гораздо более взрывной, как и любой хороший сиквел.

Глава 3. Как математику видят математики?

Тут все очень просто. Математика похожа на язык.

Курьезный язык, я не спорю. Насыщенный, лаконичный и требующий кропотливого чтения. За то время, пока я успею проглотить пять глав «Сумерек»[9], вы, возможно, так и не перелистнете страницу вашего учебника по математике. Этот язык приспособлен для того, чтобы рассказывать некоторые истории (например, о соотношениях между кривыми и уравнениями), но не в силах поведать другие (например, об отношениях между девушками и вампирами). Поэтому он обладает определенным лексиконом и полон слов, которых нет в другом языке. Например, даже если я переведу формулу на привычный английский, она останется бессмыслицей для тех, кто не знаком с рядами Фурье, так же как «Сумерки» — бессмыслица для тех, в ком не играют подростковые гормоны.

Но все-таки кое в чем математика — обычный язык. Пытаясь добиться понимания, математики используют стратегии[10], знакомые большинству читателей. Они формируют мысленные образы. Они составляют парафразы в своей голове. Они пропускают отвлекающие формальности. Они проводят параллели между тем, что читают, и тем, что уже знают. И, как ни странно, они испытывают эмоции: радуются, веселятся или брезгливо кривятся, когда читают научные тексты.