Математика. Утрата определенности.

Несколько иная ситуация сложилась в неевклидовой геометрии. В начале XIX в. лишь немногие ученые помимо ее создателей — Ламберта, Гаусса, Лобачевского и Бойаи — воспринимали неевклидову геометрию как заслуживающую внимания область математики, ибо ее дедуктивная структура была далеко не так разработана, как дедуктивная структура классической евклидовой геометрии. Однако после появления работ Гаусса и Римана не только основатели новой науки, но и их последователи уверовали в непротиворечивость неевклидовой геометрии (т.е. в то, что никакие ее теоремы не противоречат другим теоремам), которая отнюдь не была доказана.{83} Стало очевидным, что Саккери заблуждался, полагая, будто он пришел к противоречию; однако возникшая после этого общая уверенность в том, что он не мог прийти к противоречию, первоначально также не была ничем обоснована.

Ведь вполне могло случиться, что противоречие в неевклидовой геометрии все же существует, но пока оно еще не обнаружено. Если бы это было так, то допущение основной аксиомы гиперболической геометрии было бы невозможно — и аксиома Евклида о параллельных оказалась бы, как некогда считал Саккери, следствием остальных евклидовых аксиом. Так, не располагая доказательством непротиворечивости или какими-либо данными о применимости новой геометрии, многие математики приняли то, что их предшественники считали абсурдным. Принятие неевклидовой геометрии было актом веры. Вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии оставался открытым на протяжении еще полувека (гл. VIII).

Итак, в начале XIX в. не была обоснована практически ни одна область математики. Арифметика вещественных чисел, алгебра, евклидова и более новые неевклидова и проективная геометрии либо имели неполноценные обоснования, либо вообще были лишены логического фундамента. Математическому анализу, т.е. дифференциальному и интегральному исчислению, теории рядов и другим разделам недоставало не только строгой теории (даже просто определения!) широко использующихся здесь вещественных чисел и полноты логической структуры алгебры, но и ясности в определении основных понятий анализа —

производной, интеграла и бесконечного ряда. С полным основанием можно сказать, что в математике начала XIX в. ничто не было обосновано хоть сколько-нибудь надежно.

Отношению многих математиков XVIII-XIX вв. к доказательству нельзя не удивляться, если вспомнить, что математику было принято считать непревзойденным образцом дедуктивной (или, по Аристотелю, «выводной») науки. В XVIII в. многие пробелы в обосновании математического анализа были вполне очевидны, и некоторые математики, работавшие в этой области, просто перестали заботиться о строгости. Так, Мишель Ролль (1652-1719) утверждал, что математический анализ представляет собой набор хитроумных логических парадоксов. Другие математики пошли еще дальше и, уподобляясь персонажу известной басни о лисе и винограде, принялись открыто высмеивать строгость греческой математики. Так, в своих «Элементах геометрии» (1741) Алекси Клод Клеро писал:

Евклид заботился о доказательстве того, что две пересекающиеся окружности не имеют общего центра, что сумма сторон треугольника, заключенного внутри другого треугольника, меньше, чем сумма сторон объемлющего треугольника, и это не удивительно. Ведь этому геометру приходилось убеждать упрямых софистов, почитавших за доблесть отрицание очевиднейших истин. Чтобы успешно парировать придирки, геометрия должна, подобно логике, опираться на формальные рассуждения.

Далее Клеро добавляет: «Но теперь все обстоит иначе. Все рассуждения, приводящие к результатам, заранее известным из соображений здравого смысла, ныне игнорируются — ведь они служат лишь для того, чтобы сокрыть истину и утомить читателя».{84}

Умонастроение, господствовавшее в XVIII — начале XIX вв., выразил Юзеф Гене-Вронский (1775-1853), искусный вычислитель, нисколько не заботившийся о строгости. Комиссия Парижской академии наук раскритиковала одну из представленных им работ. Отвечая на критику, Гене-Вронский охарактеризовал мнение комиссии как «педантизм, ставящий средства достижения цели превыше самой цели».