Математика. Утрата определенности.

На более формальном языке это означает, что если p и q — высказывания и p истинно, то из истинности импликации «Если p, то q» («из p следует q», или «p влечет за собой q») мы вправе заключить, что q также истинно. Если же p ложно, то независимо от того, ложно или истинно q,

материальная импликация «Если p, то q» считается истинной. И только в том случае, если p истинно, a q ложно, импликация считается ложной. Понятие материальной импликации расширяет привычное употребление связки «если …, то …». Но такое расширение не приводит к каким-либо затруднениям, так как обычно мы используем импликацию «если p, то q», только когда знаем, что p истинно. Кроме того, материальная импликация в какой-то мере согласуется с тем смыслом, который мы обычно вкладываем в условные высказывания «Если …, то …». Рассмотрим предложение «Если Гарольд получит сегодня жалованье, то он купит продукты». Здесь p — высказывание «Гарольд получит сегодня жалованье», q — высказывание «Он купит продукты». Но Гарольд может купить продукты, даже если он не получит сегодня жалованье. Следовательно, импликацию «Если p, то q»

мы можем считать истинной и в том случае, когда p ложно, a q истинно. Другим, возможно еще лучшим, примером разумности такого решения может служить условное предложение «Если бы дерево было металлом, то дерево было бы ковким». Мы знаем, что оба высказывания (и антецедент, и консеквент) ложны, тем не менее вся импликация в целом истинна. Следовательно, если p ложно и q ложно, то импликацию «Если p, то q» также надлежит считать истинной. Понятие материальной импликации находит важное применение, позволяя судить об истинности q по истинности p и импликации «Если p, то q». Обобщение на случай, когда p

ложно, удобно для математической логики и представляется наиболее разумным из всех вариантов.

Поскольку если p ложно, то q следует из p независимо от того, истинно ли q или ложно, в случае материальной импликации из ложного высказывания может следовать что угодно — консеквент может быть любым. Упреки тех, кто видит в этом неисправимый «порок» материальной импликации, можно было бы отвергнуть, сославшись на то, что в непротиворечивой системе математики и логики не должно быть ложных высказываний. Тем не менее возражения против понятия материальной импликации все же выдвигались. Так, Пуанкаре иронически заметил: «Но кто исправлял плохую кандидатскую математическую работу, тот мог заметить, насколько правильно смотрит на дело Рассел. Кандидат часто много трудится для того, чтобы найти первое ложное уравнение; но лишь только он его получил, для него уже не представляет никакого труда сделать из него самые неожиданные выводы, из которых иные могут оказаться и точными» ([1], с. 379). Но, несмотря на все попытки усовершенствовать понятие импликации, именно материальная импликация стала стандартным понятием, по крайней мере в математической логике, используемой как основа всей современной математики.

Фреге внес в развитие логики еще один вклад, важность которого была по достоинству оценена много позднее. В логике известно много принципиальных схем рассуждений. Их можно сравнить с многочисленными утверждениями евклидовой геометрии о треугольниках, прямоугольниках, окружностях и других фигурах. В результате пересмотра других областей математики, произведенного в конце XIX в., многие утверждения геометрии были выведены из небольшого числа основных утверждений — аксиом. То же самое Фреге сделал в логике. Его обозначения и аксиомы были достаточно сложными, и мы ограничимся лишь словесным описанием предложенного Фреге аксиоматического подхода к логике (см. также гл. X). Вряд ли кто-нибудь усомнится принять за аксиому утверждение «Если p, то p или q», так как высказывание «p или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из входящих в него высказываний, p или q,

 а если p истинно, то одно из высказываний, p или q, заведомо истинно.

Можно принять также за аксиому, что если какое-то высказывание (или комбинация высказываний) A истинно и если из A следует B, где B — другое высказывание (или комбинация высказываний), то B истинно. Эта аксиома, называемая правилом вывода, позволяет нам выводить новые высказывания и утверждать, что они истинны.

Из приведенных аксиом мы можем, например, вывести

p истинно или p ложно,

т.е. закон исключенного третьего.