Математика. Утрата определенности.

В александрийский период алгебра достигла своего наивысшего расцвета в трудах Диофанта. О происхождении и жизни этого ученого почти ничего не известно. К сожалению, труды Диофанта, намного превосходившие по глубине и значимости сочинения его современников, появились слишком поздно, чтобы оказать сколько-нибудь заметное влияние на развитие математики того времени; разрушительная волна (гл. II) уже надвигалась, погребая под собой греческую цивилизацию. Несколько книг, написанных Диофантом, безвозвратно утеряно, однако шесть частей величайшего сочинения Диофанта «Арифметика», содержавшего, по утверждению самого автора, всего тринадцать частей, дошли до нашего времени [34]. Подобно египетскому папирусу Ринда, «Арифметика» Диофанта представляет собой сборник разрозненных задач. В посвящении говорится, что «Арифметика» задумана как серия задач, призванных помочь одному из учеников Диофанта овладеть различными видами чисел (Диофант [34], с. 41).

Одной из значительных заслуг Диофанта является введение в алгебру некоторой символики. Поскольку мы располагаем не подлинными рукописями самого Диофанта, а лишь поздними (датируемыми не ранее чем XIII в.) копиями, трудно говорить с уверенностью, какими именно символами пользовался сам Диофант. Известно лишь, что он ввел символы, соответствующие нашим обозначениям x, степеням неизвестного x

вплоть до x⁶ и 1/x. Появление такой символики замечательно само по себе, но еще больший интерес представляет введение степеней выше третьей, поскольку, как мы уже отмечали, греки классического периода игнорировали произведения более чем трех сомножителей, так как считали их не имеющими геометрического смысла. Но если подходить к умножению с чисто арифметических позиций, то произведения более трех сомножителей, разумеется, становятся вполне законными. Именно такой подход к произведениям трех и более чисел был избран Диофантом.

Свои решения Диофант излагал словесно — так, как мы пишем прозу. Все необходимые действия он производил исключительно арифметически, не прибегая к геометрии для иллюстрации или в подтверждение своих рассуждений. Произведение (x − 1)(x − 2)

Диофант вычислял чисто алгебраически, как это делаем мы. Использовал он и алгебраические тождества, например равенство a² − b² = (а − b)(a + b) и более сложные. Строго говоря, в своих вычислениях Диофант выполнял действия, основанные на использовании алгебраических тождеств, хотя сами тождества в явном виде у него не встречались.

Алгебра Диофанта обладала еще одной особенностью: Диофант охотно решал неопределенные уравнения, например одно уравнение с двумя неизвестными. Такие уравнения математики рассматривали и до Диофанта. Так, пифагорейцы нашли целочисленные решения уравнения{66}

  x² + y² = z²

. Аналогичные уравнения рассматривались и в других сочинениях. Но Диофант был первым, кто предпринял систематические и обширные исследования неопределенных уравнений, став тем самым основателем нового раздела алгебры, называемого ныне диофантовым анализом.{67}

Хотя применение алгебры снискало Диофанту широкую известность, нельзя не отметить, что он признавал только положительные рациональные корни и отбрасывал все остальные. Даже при решении квадратного уравнения с одним неизвестным, имеющего два положительных рациональных корня, Диофант приводил только один (больший) корень. Если же уравнение имело два отрицательных корня, иррациональные или комплексные, то Диофант отвергал такое уравнение, считая его неразрешимым. Если уравнение, имело иррациональные корни, то Диофант шаг за шагом, от конца к началу, прослеживал полученное решение и показывал, как изменить исходное уравнение, чтобы новое уравнение имело рациональные корни. В этом Диофант отличался от Герона и Архимеда. Герон был инженером, и возникавшие в его расчетах иррациональные числа не пугали его. Для Герона иррациональные величины были вполне приемлемыми, хотя он, разумеется, и заменял их рациональными приближениями. Архимед также стремился получить точные решения и, если ответы выражались иррациональными числами, указывал границы, в которых те были заключены.