Механика от античности до наших дней

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б.Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье «Стержни и пластинки» («Вестник инженеров», 1915). Воспитанник Петербургского политехнического института, Галеркин начал преподавательскую и научную деятельность в 1909 г. Особенно широко развернулось его научное творчество уже после Октябрьской революции.

Метод Бубнова — Галеркина, в некоторых отношениях более общий и простой, чем метод Рэлея—Ритца—Тимошенко, получил очень широкое распространение, применяется он и теперь к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики.

В связи с потребностями кораблестроения теорией упругости занимался и А.Н. Крылов. В частности, ему принадлежит подробное исследование вынужденных колебаний стержней постоянного сечения, сперва напечатанное в «Mathematische Annalen» за 1905 г. и затем включенное в упоминавшийся курс дифференциальных уравнений математической физики. Обобщенный для этой задачи метод Пуассона, примененный Пуассоном к свободным колебаниям, Крылов применил к вынужденным колебаниям груза, подвешенного к концу растяжимой нити, и к связанным с этой задачей вопросам — теории индикатора паровой машины, измерению давления газа в канале орудия и к крутильным колебаниям вала с маховиком на конце.

Целый ряд задач теории упругости — по устойчивости стержней и пластин, вибрациям стержней и дисков и пр. — решил в 1911—1913 гг. А.Н. Дынник (1876— 1950). Дынник окончил Киевский политехнический институт в 1899 г. и с 1911 г. состоял профессором Горно-металлургического института в Днепропетровске. Он продолжал успешные изыскания по теории упругости и в советский период.

К 1914 г. относится начало работ по теории упругости Л.С. Лейбензона (1879—1951) — прежде всего по устойчивости упругого равновесия длинных сжатых стержней с первоначальным кручением около прямолинейной оси стержня, а затем по устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В.Г. Шухова составлены из закрученных прямолинейных образующих.

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С.А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи «Деформация в двух измерениях» и «Давление жесткого штампа на упругое основание», которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, и использовал его при решении задачи об эллиптическом отверстии в бесконечной плоскости и задачи о вдавливании прямоугольного штампа в упругую полуплоскость.

Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г.В. Колосовым (1867—1936). В 1909 г. Колосов опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где им были установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой. В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым напряжениям в плоской задаче теории упругости Н.И. Мусхелишвили. Деятельность Мусхелишвили, как и некоторых других названных здесь ученых, развернулась во всей широте уже после Октябрьской революции.

ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Вкратце остановимся на проблеме фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной вклад внес А.М. Ляпунов.

Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимаемой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии.

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.