Менеджмент: конспект лекций

Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом t значение функции u ( t ) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.

1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний x 1 и умений y 1? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости ( x 0; y 0) в точку ( x 1; y 1)?

2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т. е. выйти на прямую x

= x 1?

Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для второй задачи и двойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле [14]).

С помощью замены переменных z = k 2 x, w = k 1 k 2 y перейдем от системы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу к другим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося).

Решения задач 1 и 2, т. е. наилучший вид управления u (t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина. В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным ( u = 1) и вертикальным ( u = 0) прямым, либо по особому решению – параболе w = z 2 ( u = 1/3). При z02>w0 движение начинается по вертикальной прямой, при z02z 2 > w } и { z 2 < w } проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.

Используя теорему о регулярном синтезе, можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на «магистраль» – добраться до параболы w = z

2 по вертикальной ( u = 0) или горизонтальной ( u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали ( u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае w0u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали ( u = 1/3) от точки (z0; z02) до точки

Наконец, по горизонтали ( u = 1) выйти в конечную точку.

В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих из начальной точки ( z 0; w 0) в точки луча

выбирается траектория, требующая минимального времени. При

оптимально w 1 = z 0( z 1 – z 0), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z 1 > 2 z 0 оптимально w1=z12, траектория проходит по магистрали w = z 2 от точки (z0; z02) до точки (z1/2; z12/4). Чем большим объемом знаний z 1 надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний.