Многоликий солитон

Дисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ¼λ. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние λ, откуда v = (λ/Т) = . Хотя это лишь приближенное соотношение, приближение получилось довольно неплохое. Правильное выражение с учетом кругового движения частиц воды есть v = . Сразу заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше длины волны. В противоположном предельном случае «мелкой воды», когда h  λ, скорость волны зависит лишь от глубины: v =

.

С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g, λ, h, а также от плотности жидкости ρ и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ρ, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)

Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dg^αλ^bh^c и сравнивая размерности левой и правой частей, находим

v

= d (h/λ)^c.

Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h 

λ, скорость не должна зависеть от длины волны λ, так как размеры траекторий совершающих колебания частиц воды не могут превышать h (сравните с длинной волной в цепочке атомов). Мы заключаем, что для мелкой воды надо взять с = ½.

В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и λ. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при λ  2πh этот рост замедляется и скорость приближается к максимальному, или «критическому» значению v_к = . Полезно познакомиться с приближенными выражениями для скорости в пределе коротких и длинных волн

Зависимость скорости от длины волны для длинных волн на мелкой воде удивительно напоминает соотношение между v

и λ для длинных волн в решетке атомов. Действительно, воспользовавшись тем, что при малых α можно приближенно положить sin α α - α^З/6, легко получить приближение для соотношения (5.17) при λ  α:

Отсюда ясно, что дисперсия волн на мелкой воде такая же, как для волн в решетке атомов, причем, глубина h играет роль расстояния между атомами.

Термин «мелкая вода» весьма условен. Для длинных волн, возникающих при землетрясениях в океане, средняя глубина океана (около 5 км) уже оказывается достаточно малой, можно сказать, что для них океан мелкий. Такие волны, известные под названием «цунами», можно считать весьма типичными и чрезвычайно опасными солитонами. Мы познакомимся с ними в следующей части, а сейчас только отметим, что диапазон реально наблюдаемых скоростей волн очень велик. В океане при длине волны  5 км это v =   800 км/ч. В кювете для обработки фотографий при глубине 0,5 см — примерно 20 см/с. Такую скорость легко измерить, достаточно резко толкнуть кювету, чтобы по ней побежало микроцунами. Легко создать и условия, при которых нужно пользоваться «глубоководной» формулой для скорости. Любознательный читатель может проделать множество несложных опытов, запасясь секундомером и терпением. При проверке «глубоководной» формулы необходимо учесть, что при малых (меньше 5 см) длинах волн начинают сказываться силы поверхностного натяжения, которыми мы до сих пор пренебрегали.