Многоликий солитон

Эта функция представлена на рис. 6.3, б. На рис. 6.3, α изображена кривая зависимости φ от х в момент t = 0. Вдали от центра дислокации, расположенного в точке х = 0, атомы расположены вблизи положений равновесия, т. е. φ π или φ  -π. Атомы находятся далеко от положений равновесия лишь на расстояниях l_v от центра. Мы можем поэтому называть l_v полушириной дислокации или просто ее размером:

Если скорость дислокации равна нулю, то ее размер l_v = l₀ зависит лишь от характеристик решетки. Размер равномерно движущейся дислокации t_v с увеличением скорости уменьшается, причем это уменьшение определяется формулой

напоминающей преобразование длины при переходе в движущуюся систему координат в специальной теории относительности, только вместо скорости света с

в ней стоит скорость звука v₀. Эту аналогию с теорией относительности можно провести достаточно далеко. Можно показать, что энергия Е и импульс р движущейся дислокации также выражаются формулами «теории относительности»

Таким образом, быстро движущиеся дислокации подчиняются не механике Ньютона, а механике специальной теории относительности. При малой скорости движения дислокации (v²/v₀²   1) можно пользоваться обычной нерелятивистской теорией.

Эта модель, вероятно, очень понравилась бы Джозефу Лармору (1857—1942), считавшему частицы чем-то вроде дислокаций в эфире. Правда, его теория намного сложнее, но суть дела именно такая. С интересом отнесся бы к этой модели и Пуанкаре. В своем докладе «Новая механика» (1909 г.) он говорил: «Инерцией обладает не материя, а эфир; он один оказывает сопротивление движению, так что можно было бы сказать: нет материи, есть только дыры в эфире». В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми современными идеями, связывающими элементарные частицы с солитонами некоторых нелинейных полей, играющих в какой-то степени роль эфира.

Во что превратились звуковые волны

Итак, мы уже поняли, что солитоны перемещаются со скоростями, меньшими v₀. А как же с обычными звуковыми волнами — могут ли они распространяться в среде, смоделированной Френкелем и Конторовой?

Возвратимся к уравнению (6.2). Даже для волн очень малой амплитуды его правую часть отбросить нельзя. Можно только приближенно заменить ее на -2πf₀(y_n/α). Тогда сразу видно, что y_n(t) будет изменяться по синусоидальному закону, если величина «эффективной массы» m_• отрицательна. При положительной эффективной массе никаких колебаний y_n(t) не получится (вспомните гл. 4!). Предположим поэтому, что m_•  0. Тогда из формулы (6.3) следует, что скорость распространения волны v должна быть больше v₀, т. е. больше чем в свободной цепочке атомов! Не противоречит ли это только что сделанным вычислениям? Конечно, нет. Скорость v — это фазовая скорость волны, и мы сейчас увидим, что скорость группы волн оказывается всегда меньше v₀.

Итак, подставим в формулу (6.2) соотношение (6.3) и заменим sin [2π (y_n/α)] на 2π (y_n/α). Для у_n(t

) получаем тогда уравнение малых (линейных) колебаний

Решения этого уравнения, например

у_n(t) = у_n(t_n) соs [ω(t - t_n)],

описывают, как и раньше, бегущие волны. Вспоминая рассуждения, приведенные при выводе формулы (6.5), представим волну смещения атомов в виде

у(t, х) = у₀ соs [ω(t - x/v)].

Зависимость круговой частоты волны ω от фазовой скорости определяется формулой (6.8). Из условия связи длины волны с частотой и скоростью, т. е. из обычного соотношения λ = v/ = 2πv/ω, легко находим зависимость фазовой скорости от длины волны:

^{Упражнение: получите формулы (6.8), (6.9), воспользовавшись формулами (6.2), (6.3). Найдите групповую скорость и из формулы (5.23).}

^{О т в е т:}

Зависимость скорости v от длины волны λ изображается хорошо изученной нами кривой — гиперболой. Обозначив v/

v₀ = X и λ/λ₀ = Y, можно записать уравнение (6.9) в более знакомом и приятном виде как Y² - Х² = 1. Как мы уже убедились в гл.4, точки этой кривой можно находить с помощью циркуля и линейки. Это построение выполнено на рис. 6.4, где

введены обозначения X₁ = λ₁/λ₀ , Y₁ = v₁/v₀, 1/Y₁ = u₁/v₀, λ₁

— интересующее нас значение длины волны, v₁ — соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u₁ = v₀²/v₁ — значение групповой скорости.

^{Упражнение: выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А₁ подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С₁ равны ω₀/ω₁ и u₁/v₀ = v₀/v₁, где ω₁ — значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ₁.}

Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы